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Similmente procedendo sulle seconde equazioni (3) 



W-e i ) = _ - ijogR 



~ÒV 1)V 



deduciamo le due 



Y Oi = — q(l + COS <f) * 



V 7>y 2 7>y . 7>y 



7)6,- . 1 T^p ~a log R 



7 *i — + t: — = — ?(1 + cos a) 



e sottraendo 



/ 5 *x 7)(gcosg) _ 



Dy }y 



Dalle (5), (5*) deduciamo 



= 0, 



indi 



? = U + V, 



essendo U una funzione della sola u,Y della sola y. Le equazioni stesse 

 danno poi 



~HQ cos ts) _ _ , cos g) = yf 



Dm ' 7>y 



gli apici indicando derivate, e integrando si ha per cos a la forinola 



V — U + 2A 



(6) cos tr = 



U + V 



dove A indica una costante arbitraria. Insieme alla (6) conviene tenere pre- 

 senti le equivalenti 



\ 2(U— A) , , 2(V + fc) 



(6*) I - CQStf - U + Y ' 1 + w== u + V • 



Vediamo dunque intanto che: se la trasformazione di Moutard con- 

 serva la somma dei quadrati delle n-\-\ soluzioni B 0 , ti v , . . . O n , questa 

 somma ha necessariamente la forma 



(7) £ e\ = u + 



