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Quando una tale relazione sia verificata diremo, con Guichard, che 



0 0 , #1 , 0 2 , . . . 6 n 



formano un gruppo di soluzioni quadratiche della equazione di Moutard. 



Le trasformazioni cercate possono dunque aver luogo soltanto per equa- 

 zioni di Moutard dotate di gruppi di soluzioni quadratiche, che vengano 

 trasformati in altri gruppi di soluzioni quadratiche delle nuove equazioni. 



Questi risultati preliminari conducono a proporre il problema generale 

 seguente : 



A) Data un'equazione (1) di Moutard con un gruppo (6 0 , 0 X , B a , ... B n ) 



di n -f- 1 soluzioni quadratiche, per le quali adunque 



B\ + « 2 , + • ' • + 0*n = U + V, 



trovare tutte le trasformate contigue di Moutard, la somma dei quadrati 

 delle cui soluzioni corrispondenti 



tì 0 , di , . .. . d n 



conserva il medesimo valore fJ -f- V. 



In questa Nota daremo la soluzione completa di questo problema e 

 dimostreremo che esistono in effetto oo" tali trasformate contigue di Mou- 

 tard. La loro ricerca dipende dall' integrazione di un sistema completamente 

 integrabile di equazioni ai differenziali totali per n funzioni incognite, ossia 

 dall' integrazione di equazioni differenziali ordinarie. Questo sistema possiede 

 poi una notevole proprietà che semplicizza grandemente, come si vedrà, 

 l'applicazione successiva del processo di trasformazione. 



2. Prima di procedere alla risoluzione del nostro problema A) sarà 

 opportuno indicarne il significato geometrico pei casi più semplici di n = 2, 

 n = 3 l 1 )- 



Le equazioni di Moutard con gruppi di soluzioni quadratiche si pre- 

 sentano in effetto in vari problemi di geometria infinitesimale. Il primo e 

 più semplice caso è quello delle equazioni di Moutard dotate di un gruppo 

 di tre soluzioni quadratiche 6 0 , 0 Ì , 0 2 tali che 0 2 o -f- 0 2 i -f- # 2 2 == 1 , ridu- 

 cendosi qui le funzioni U . V a costanti. La ricerca di queste equazioni 

 equivale perfettamente a quella delle superficie pseudosferiche (di curvatura 

 costante negativa) e la nota teoria delle trasformazioni di queste superficie 

 risolve pel caso attuale il problema A), dimostrando che una tale equazione 

 di Moutard possiede oo 2 trasformate contigue della medesima specie, con- 

 formemente alla proprietà generale enunciata alla fine del n. 1 . 



Rimanendo ancora nel caso n = 2, ma supponendo ora che U , V non 

 siano più costanti, la ricerca delle equazioni di Moutard dotate di un gruppo 



(') Il caso n= \ è d'immediata risoluzione e non occorre insistervi. 



