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di tre soluzioni quadratiche 6 0 , O l , 6 2 corrisponde a due problemi geome- 

 trici fra loro equivalenti e cioè : 



1° alla costruzione di quelle congruenze rettilinee le cui due falde 

 focali si corrispondono per linee assintotiche ed hanno in punti corrispon- 

 denti eguale curvatura, 



2° alla ricerca di quelle superficie sulle quali esiste un sistema co- 

 niugato di linee che si conserva coniugato ih una deformazione continua 

 della superficie, ossia, come si dice brevemente, alla ricerca delle superficie 

 con un sistema coniugato persistente. 



Le questioni geometriche ora indicate furono da me trattate in una 

 Memoria del 1890 (') e si trovano riportate nel 2° volume delle mie Lesimi 

 di geometria difterenziale (pag. 74 e segg.). 



Così pel caso n = 2 il problema A) era già completamente risoluto 

 dalle indicate ricerche. 



Anche per il caso seguente n = 3 il corrispondente problema della 

 ricerca delle equazioni di Moutard con un gruppo di quattro soluzioni qua- 

 dratiche 6 0 , , # 2 , 6 3 , tali cioè che sia 



e\ _f_ e\ -f- + e\ =- u + v, 



ammette una notevole interpretazione geometrica, analoga alla precedente. 

 Esso equivale alla ricerca delle superficie deformabili con sistema coniugato 

 persistente nello spazio ellittico, o spazio di curvatura costante positiva. In 

 particolare, quando le funzioni U , V si riducono a costanti, abbiamo le 

 superficie di Voss dello spazio ellittico, cioè le superficie di questo spazio 

 dotate di un doppio sistema coniugato di linee geodetiche. Un altro aspetto 

 geometrico del problema stesso risulta dalle ricerche di Schur sulle varietà 

 a tre dimensioni dello spazio euclideo a quattro dimensioni deformabili con 

 continuità entro questo spazio ( 2 ). Come Schur dimostrò, il problema di tro- 

 vare le ipersuperficie deformabili entro 1' S 4 euclideo equivale appunto alla 

 ricerca delle superficie con sistema coniugato persistente dello spazio ellit- 

 tico a tre dimensioni, e si traduce dunque anch'esso nella ricerca delle equa- 

 zioni di Moutard con gruppi di quattro soluzioni quadratiche. Le ricerche 

 geometriche ora appena indicate in questa breve Nota verranno sviluppate 

 in una mia Memoria di prossima pubblicazione negli Atti della Società 

 dei XL. 



( x ) Sopra alcune nuove classi di superficie e di sistemi tripli ortogonali. Annali 

 di matematica, serie 2 a , t. 18. 



( 2 ) E ben noto che in generale entro lo spazio euclideo ad n dimensioni, appena 

 n^> 3, le varietà ad n — 1 dimensioni (ipersuperficie) sono indeformabili (v. Lezioni ecc., 

 voi. I, pag. 465). 



