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Infine dobbiamo dire che il sig. Guichard, nelle sue belle ricerche : 

 Sur les systèmes orthogonaux et les systèmes cycliques ('), particolarmente 

 nell' ultima Memoria del 1903, si è occupato diffusamente delle equazioni 

 di Moutard con gruppi di soluzioni quadratiche e ne ha fatto conoscere 

 varie interessanti oroprietà. 



3. Proseguendo ora l'analisi iniziata al n. 1. supponiamo che l'equazione 

 (1) di Moutard possegga il gruppo di n -J- 1 soluzioni quadratiche 



0 O , 0, , 0 2 , . . . 8» 



legate dalla relazione 



" 2 o + f 2 1 + a 2 2 + --- + 0 2 « =U + v. 



Se facciamo nella (1) un cambiamento proporzionale di funzione inco- 

 gnita ponendo 



la (1) diventa 



(9) V ■ F ^+W=0 

 [ ) dm 7)y ^ 2(U + V) ^ ^ 2(U + V) 7>y ^ ' 



avendo posto 



U' V 



(10) 4(P+Y> ' ' T'itS'T? 



Indicando con xt, ,Xi , ... x n le soluzioni della (9) corrispondenti alle 

 0ó , 0i , . . . 0„ della (1), sicché 



i?,- = = 0 , 1 , . . . n), 



avremo 



indi 



0,..rt 



~y x ì i — x 2 q -\~ x z \ — j— • ■ ■ — |- ^ 2 ft — i , 



0...n ~~ÙX' °— " 



y 4^ = o , y_xi 1 = o , 



0...n -.2 ~ 0...n -v 



-7- 1 ~òu ~òv ~ -7- dm 7*y 



Dopo ciò se moltiplichiamo la relazione 



D 2 #?; . V ~ixi . TJ D^; . -p, 



+ o/tt 1 xr\ + 0/TT , tt X — \-Fxì = 0 



~~òu ~òv 1 2(U + V) Dm 1 2(U + V) Dy 



(') Annales de l'École Normale Supérieure, t. XIV (1897), t. XV (1898) e t. XX 

 (1903). 



