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Ora se eguagliamo a zero il coefficiente di Xi 00 (k ,== t , .2 , ... n) celle 

 due relazioni (18), troviamo le seguenti: 



ih . , . l £» * , /MogR , U' \ 



A;,. 



— - (1 - cos <r) q oll + l_ q jh Xj = - (—^ + — — ) A ft . 



Eliminandone colle (19) le derivate di log E, abbiamo le forinole de- 

 finitive : 



1>U 



1)V 



1 • - •'/(. 



= — (1 + cos <r) pan — 2. h + 



"•V U + Vl— coso- T i_cos(r/' * 



= (1 — cos a) q ok — y g jft A,- + 



■ /_ V' coso- , ^ w ^qAj \ 



^\ U + V 1 + cos ex ' 7- 1 -f coso-/" * 



1,2,.../, 



Così abbiamo ottenuto per le funzioni incognite ^ , A 2 , . . . A w il sistema 

 (20) di equazioni ai differenziali totali pel quale, con opportuni calcoli, si 

 trovano verificate le proprietà seguenti: 



a) le condizioni d'integrabilità sono identicamente soddisfatte, a causa 

 delle relazioni (II), (III) per le rotazioni; 



b) l'equazione in termini finiti (17), derivata rapporto ad u,v, con- 

 duce ad equazioni che sono conseguenze della (17) e delle (20) stesse. 



Ne risulta che possiamo soddisfare tutte le nostre equazioni per le A 

 restando arbitrari, per un sistema iniziale (u 0 , v 0 ) di valori di u , v , i va- 

 lori iniziali delle A, purché vincolati dalla (17). Così, computando anche h 

 che figura in cose, si introducono precisamente n costanti arbitrarie. 



D' altra parte, una volta determinate le A in guisa da soddisfare al 

 sistema (17), (20), si vede che le due equazioni (19) sono compatibili e la 

 funzione R , così determinata con una quadratura, risulta in effetto una so- 

 luzione dell'equazione (1) di Moutard. 



Abbiamo così stabilito il risultato finale che avevamo in vista: 



Un equazione di Moutard con un gruppo di n-\-\ soluzioni quadra- 

 tiche d 0 , Oi , . . . 6 n possiede oo" trasformate contigue di Moutard della 



