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stessa specie, per le quali rimane la stessa la somma dei quadrati delle 

 n -J- 1 soluzioni corrispondenti 6 0 , 6 l , . . . 6 n . 



Quanto al problema di costruire effettivamente queste oo n trasformate, 

 esso dipende dall'integrazione del sistema (20) di equazioni differenziali 

 simultanee in cui i secondi membri sono funzioni quadratiche delle X . Nel 

 caso particolare n — 2, di cui già abbiamo detto il significato geometrico 

 (n. 2), ponendo 



li = sen er cos g> , X 2 = sen sen <p 



si ha per 1' unica incognita tg \ y> un' equazione del tipo di Riccati che si 

 integra con quadrature appena noto un integrale particolare. 



6. Ma pur rimanendo nel caso di n qualunque, ove le teorie generali 

 nulla ci apprendono rispetto alla effettiva integrazione del sistema (20), 

 possiamo stabilire una notevole proprietà del sistema stesso dimostrando che: 



Se per l'equazione di Moutard primitiva (1) il sistema (20) si sa 

 integrare completamente, sono senz'altro integrati in termini finiti i si- 

 stemi differenziali analoghi per le equazioni di Moutard trasformate della 

 primitiva. 



Tale proprietà dipende dal seguente teorema di permutabilità, di cui 

 mi limito qui a dare l'enunciato colle forinole relative : 



Se ad un'equazione E di Moutard col gruppo di soluzioni quadra- 

 tiche (6 0 ,d i ,.'..6 n ) sono contigue due equazioni trasformate E', E" coi 

 rispettivi gruppi corrispondenti (<V, • • 0») > (#<>", • • • 0 n "), esiste 

 una quarta equazione E di Moutard, univocamente determinata, contigua, 

 come E, ad E', E" dotala di un corrispondente gruppo (6 0 , tì x , . . . 6 n ) di 

 soluzioni quadratiche. Note E , E' , E" e i relativi gruppi di soluzioni 



quadratiche, il gruppo 0 0 , 0, , . . . 0 n corrispondente per la E si calcola 

 in termini finiti. 



Resta che diamo le effettive formole per calcolare le 0, (i = 0 , 1 , ... n). 

 Indichiamo per ciò con a' il valore dell'angolo e nel passaggio da E ad E' 

 e con 



2 ' 2 ' 2 ' 



i corrispondenti valori di X x , a 2 , . . . À H e così o" , X" , X 2 " , l n " abbiano un 

 significato analogo pel passaggio da E ad E". Le formole richieste si scri- 

 vono semplicemente : 



e, = e ì + ,,„ mt-mk {e ; _ ^ 



j>_ X k ' X h " -j- cos <r' cos a" — 1 



k 



(2 = 0,1,2,...^). 

 Si osserverà che quando cos a' = cos a' (k' === k"), ed in questo caso 

 soltanto, la quarta equazione E coincide colla primitiva. 



