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Mal ematica.. — Sulle equazioni differenziali per i risultanti 

 e discriminanti di forme binarie. Nota del Corrispondente Ernesto 

 Pascal. 



Le equazioni differenziali cui soddisfanno i risultanti e discriminanti di 

 forme binarie furono trovate e studiate da moltissimo tempo da Brioschi, 

 (Creile, 53, pag. 372; Ann. di ■'■ Mai. (1), t. II, 1859, pag. 82; v. Opere 

 Matem., t. I, pag. 377); da Faà di Bruno, (Creile, 54, pag. 283); da Gordan, 

 (Gótt. Nach., 1870, pag. 427, per il caso degli ordini disuguali); da Noether, 

 (v. Faà di Bruno-Walter, Einleitung in die Theor. d. bin. Formen, Leipzig, 

 1881, pag. 427). 



Lo scopo di questa Nota è di esporre qualche nuova considerazione, che 

 non mi sembra priva di eleganza e di interesse, relativamente ad un metodo 

 di ricerca di tali equazioni, le quali ottengo dopo aver determinato una certa 

 serie di trasformazioni per le quali il risultante resta invariato. 



L' ultima parte della Nota è dedicata alla ricerca del modo di dedurre 

 le equazioni differenziali per il discriminante da quelle per il risultante, dedu- 

 zione che non si trova in alcuno dei sunnominati autori, e che non è così 

 naturale ed agevole quanto potrebbe supporsi a prima vista. 



1. Supponiamo prima le due binarie dello stesso ordine: 



/ == &X 1 , == b;/ 1 = P\ x P200 Pnx 



Il risultante R è espresso simbolicamente da : 



(1) R = (ap.Y {a'p 2 ) n («"-' p n ) n 



essendo a , a', simboli, fra loro equivalenti, della f. 



Introduciamo ora la forma (di Cayley) : 



(2) 



F = f(x) y(y) — g>(x) f(y) 

 (xy) 



n-\ 



essendo 



' > 11 . /y> ^ — 1 — l /y» l 



(3) Ui = ^_c ij y l n -^yé 



j=0 



