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I coefficienti c sono formati in modo razionale ed intero mediante quelli 

 di f e <p, e il loro determinante è, come si sa (v. Gordan, Malli. Ann. Ili, 

 pag. 355; Clebsch, Th. d. bin. alg. Formen, Leipzig, 1872, pag. 70), il 

 risultante di f e y>. 



II risultante Rj di F e y> si ottiene ponendo in F , in luogo delle x, 

 i coefficienti di ciascuno dei fattori lineari di y>, cioè le p, e indi moltipli- 

 cando fra loro i risultati così ottenuti; si ha : 



^ (apQ" b y n (a'p 2 ) n b' y n 



(4) Piy ' Pty 



Sieno ora s ìt s 2 dei parametri arbitrari, e consideriamo le due forme 

 (nelle x): 



= jxz) F <p{x) f{y) 



(5) l = | M Z »( (y) x^- 1 + Ay) | 



le quali sono anche di ordine « (nelle x) come f e (p, e diventano, come 

 è facile riconoscere, rispettivamente eguali a f e <p per s—y. 



Esse soddisfanno alla notevole proprietà, che il loro risultante è lo 

 stesso di quello di f e </> , cioè R. 



Ciò si vede subito ponendo in /", in luogo delle x, i coefficienti di cia- 

 scuno dei fattori lineari di <p x , che sono gli stessi di quelli di e indi mol- 

 tiplicando fra loro gli n risultati ottenuti e moltiplicando infine per la n ma 



potenza del fattore costante pel quale cp, differisce da <z>, cioè per ^rr- 



Abbiamo dunque il seguente importante risultato del quale ci serviremo 

 per la ricerca delle richieste equazioni differenziali: 



Il risultante di due binarie f e q>: 



f = y_ ai Xi n - 1 x 2 



i=0 

 n_ 



(f = y_ bi Xi n ~ l x 2 



1=0 



non muta, se a queste due forme si sostituiscono rispettivamente fi e (fi, 



