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cioè esso è una lai formazione di ai , bi , che non muta se a questi coef- 

 ficienti si sostituiscono rispettivamente gli altri: 



al = -7^7 I *s Ui (y) — z x ui-x (y) + h f{y) J 

 (6) \ I/Vi 



dipendenti dai parametri arbitrari y x , y 2 , Zi , z t , e cAe z = y di- 

 ventano rispettivamente gli antichi ai,bi. (È bene notare che nelle prime 

 delle (6), le devono però intendersi zero). 



In sostanza: le (6) rappresentano una serie di trasformazioni dei 

 coefficienti a, b, delle due binarie, fra le quali è compresa anche la tra- 

 sformazione identica, e per le quali il risultante resta invariato. 



Questa curiosa proprietà è quella donde prendono origine le equazioni 

 differenziali caratteristiche per il risultante. 



Ed infatti, per i principi elementari della teoria delle trasformazioni, si 

 d ìduce allora che R deve restare inalterato per la trasformazione infinite- 

 sima della serie, cioè, considerando le s come parametri, per la trasforma- 

 zione in cui le s differiscono dalle y per quantità infinitesime, e perciò R 

 deve soddisfare ad un'equazione differenziale del tipo: 



in cui Aj , Bj sono le derivate, per z = y, dei coefficienti trasformati a' ( , b\ 

 rispetto a z x , ovvero rispetto a z 2 . Si hanno così due equazioni che, conte- 

 nendo gli altri parametri arbitrari y, si scindono in più altre. 



Calcolando le dette derivate, e ponendovi z = y , si hanno le forinole : 



~òa'i+i _ Uj (y) lidi _ Uj (y) 



~òz, (p (y) ' "a*, ~ <p (y) 



(8) \ ì<p(y) l)cp(y) 



) g ^y n 1 g>(y) ' \~0Zi ) z=y n 



<p{y) 



onde, sostituendo in (7) tali valori e tenendo conto della omogeneità di R 

 nei coefficienti di si hanno le due equazioni: 



] i=o dfli+i sy i 



(9) 



h J ^ ~ Dy 2 



