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3. Il metodo adoperato di sopra, si adatta anche al caso in cui gli 

 ordini delle due forme sieno fra loro diversi. 



Sia la <p di ordine m<C.n\ formiamo allora, in luogo della F data 

 dalla (2), la seguente (v. Gordan, Math. Ann. Ili, pag. 395): 



„ n Z, m h m „ n—m n 



(xy) 



Costruendo le due forme (nelle x) 



h ~ <p{y) .. + sP(y) Z* n ] 



<piy) 



g>(z) 



dove con J% y si intende la operazione di polare m ma operata fra le varia- 

 bili x e y, cioè con J^ y f{%) si intende la espressione a x n - m a y m , si trova, 

 come sopra, che il risultante di queste è lo stesso di quello di / e <p ; onde 

 operando come nel § 1, si trovano le medesime equazioni differenziali (9), 

 dove però le u hanno naturalmente un diverso significato, e propriamente 

 quello che a loro viene dal considerare la (11) invece della (2). 



4. Le precedenti equazioni differenziali per il risultante di due forme 

 presuppongono naturalmente che i coefficienti a , b di queste sieno fra loro 

 indipendenti. Ora considerando il discriminante J di una forma come il 

 risultante delle due derivate prime di questa, si ha invece il caso che le 

 due forme, di cui si deve calcolare il risultante, non hanno coefficienti fra 

 loro indipendenti; non possono quindi senz'altro dedursi le equazioni diffe- 

 renziali del discriminante da quelle del risultante, per una ragione che il 

 calcolo che qui segue mostrerà limpidamente. 



Gli autori che si sono fin qui occupati di questo soggetto, hanno pre- 

 ferito sempre dedurre direttamente le equazioni differenziali pel discrimi- 

 nante; mi sembra pertanto interessante vedere con quale procedimento può 

 superarsi la difficoltà cui abbiamo accennato. 



Immaginando due forme di ordine n — 1 coi coefficienti a, b, le equa- 

 zioni per il risultante sono (paragonando i coefficienti delle medesime potenze 

 delle y al primo e secondo membro delle (9)): 



n-2 



2_ T^ 1 " = — (n — i — 1) bi~R 



/;=0 oajt+i 



(13) { ^ (i=0,l,...,rc — 2) 



7£=0 <'0ft 



Rendiconti 1904, Voi. XIII, 2° Sem. 



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