— 338 — 



Teorema. « Il numero degli zeri di f'(x) contenuti in ogni curva chiusa 

 « appartenente alla C p , è uguale a quello degli zeri di f(x) , contenuti nella 

 * medesima curva, diminuito di una unità » . 



Sieno «, , a 2 , • ■ • , u m le radici distinte dell' equazione f{x) = 0 ; r, , 

 r 2 , • • • , r m i rispettivi ordini di molteplicità di guisa che r, -f- r 2 -j- ' ' ' 

 -f- r m =n . Le a v , a 2 , • • ■ , a m saranno radici dell' equazione 



(2) f (x) = 0 



multiple rispettivamente degli ordini r x — 1 , r 2 — 1 , • ■ • , r m — 1 . Indicando 

 con , /? 2 , ■ • • , § q le rimanenti radici della (2) e con s x , s 2 , ■ ■ • , s q gli or- 

 dini rispettivi di molteplicità, dovrà essere 



(3) s, -j- s 2 jf- ■ • • + s q = m — 1 . 



L' origine del piano y è un punto critico multiplo di ordine n — m della 

 funzione algebrica x di y definita dalla (1): i rimanenti punti critici sono 

 dati dalle 



m)=k (./ = 1,2, •••,</). 



Posto 1^1 = qj (j = 1 , 2 , • • • , q), possiamo supporre le ordinate in 

 guisa che Qi ^s. q 3 <. • ■ -fe g q . Per semplicità supporremo nella dimo- 

 strazione 



In questa ipotesi sulla circonferenza vi è il solo punto critico 

 Sì (i = 1 , 2 , • • ■ , q). Supponiamo che q cresca con continuità. Finché q <^Qi , 

 la Cp è costituita da m curve chiuse, che contengono rispettivamente i punti 

 «i , a 2 , • • • , a m . Tutte le volte che la circonferenza (q) oltrepassa un punto 

 critico, il numero delle curve chiuse facenti parte della C p , diminuisce. 

 Questo numero rimane invariato finché (q) si mantiene in una delle corone 

 circolari (qì , q 1+1 ) (i = 1 , 2 , • • • q — 1). 



Dimostriamo prima di tutto, che il numero delle curve chiuse della 

 C ? diminuisce di Si unità, allorquando la circonferenza (q) oltrepassa il 

 punto critico s t (i =,1 , 2 , • • • , q). 



L'equazione f(x)=s l ammette Si -|— 1 radici eguali a e le altre 

 radici sono, per l' ipotesi fatta, tutte fra di loro distinte. Ciò significa che 

 la curva C p , è formata ancora da m curve chiuse, delle quali hi -f- 1 (hi <- Si), 

 hanno il punto ^ in comune. Nella corona circolare (gì , q 2 ), queste hi -j- 1 



(') Il ragionamento è perfettamente analogo nel caso in cui alcune delle qì , od 

 anche tutte, sono fra di loro eguali. 



