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Ora è interessante osservare che le equazioni trovate da Betti hanno una 

 portata assai maggiore di quanto egli non dicesse, e valgono non solo pei 

 combinanti, ma per tutti quei covarianti, di un sistema di p — 1 forme di 

 ordini anche fra loro diversi, che soddisfanno ad una certa proprietà di cui 

 diremo più sotto, e che inoltre, oltre le equazioni di Betti, ne esistono delle 

 altre, intimamente ad esse congiunte. 



A ciò è dedicata la presente Nota, della quale mi sembra anche non 

 privo di interesse il metodo seguito. In un' altra Nota farò poi vedere che 

 il sistema di tutte le equazioni qui ottenute gode di una importante pro- 

 prietà generale, che deriva in modo naturale dal metodo stesso della nostra 

 dimostrazione, e che ha la stessa origine e natura di quella cui soddisfa 

 l'ordinario e noto sistema di equazioni differenziali per un covariante qua- 

 lunque. 



1. Sieno date p — 1 forme a p variabili omogenee di ordini n x , n 2 , . • . 



!n n, x • r. r„ I X 



r i l • ••' ' p • \ h 



^ 3 = ^^I rT 7^,^- P < 1 ---^ ; (lj|=s) 



e ponendo 



(2) — = Zi (2 = 1,2, ...^ — 1) 

 indichiamo con 



(3) * a > *tt , - *i* (N = n x n z ... w^è 



gli N sistemi di soluzioni comuni alle equazioni fi = 0 , f 2 — 0 , • • • fp-i — 0 • 

 Indichiamo con P un invariante qualunque del sistema delle p — 1 

 forme, che indicheremo con g>i , .. . (p p - x , ottenute dalle f ponendovi x v = 0 , 

 e sia P (W il risultato ottenuto da P colla formola: 



(4) P<» =y X r h a ri ... ... r _; ; , 



a r oar 1 ...r^ l o 



in cui sta a significare che bisogna sommare tutti i risultati che si otten- 



a 



gono considerando prima i coefficienti a della prima forma, poi i coefficienti b 

 della seconda, e così di seguito. 



2. Consideriamo una trasformazione lineare delle variabili x: 



(5) 



