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Infatti poiché I non dipende da P, la trasformazione (14) non influisce 

 affatto sul mutamento che subisce la I , e poiché I è omogenea di ordine m 

 nelle x, e poiché, se in luogo delle x" si introducessero le x, la I subi- 

 rebbe il cangiamento indicato dalla (12), diventerebbe cioè la I' data 

 dalla (12), così, indicando con I" ciò che diventa la I scritta nelle x", si 

 ha evidentemente : 



I" = Jp r 



cioè ; 



m 



(15) 1" = 7^ • I 



ffi 



Perciò, indicando con J" la J scritta nelle g' (date dalle (8)), nelle x" 

 (date dalle (13)), e nella P" (data dalla (14)) si ha, secondo l'assunto: 



(16) J"=P'^.r = PM = J. 



I parametri della trasformazione qui operata sono naturalmente le a , 

 e si ha la trasformazione identica quando: 



< 17 > U>=! 



Le equazioni differenziali cui soddisferà la J corrisponderanno alle varie 

 trasformazioni infinitesime ottenute facendo variare uno dei parametri, di 

 quantità infinitesime sui valori iniziali (17). Propriamente la J soddisferà 

 ad equazioni del tipo: 



p-ì N -x T p ■> T -sT 



(18) IZ%| L +IX s ^ + /7^, 



1=1 j=l s=l W'S V 1 - 



in cui le Z , X , 77 sono i risultati ottenuti formando le derivate di / , x", 

 P" rispetto ad uno dei parametri a e indi ponendo per questi i valori (17) ; 

 si hanno così tante equazioni differenziali per quanti parametri a, cioè in 

 tutto p 2 . 



Calcoliamo ora le dette derivate. Racchiudendo in parentesi, e con un 

 indice 0 in basso, le derivate quando in esse si sono sostituiti i valori (17), 



