che pei valori (17) diventa: 



— 371 — 



(23) 



r , fi,— 1 r„ , 717 



r h a^ ...a h h ... ... a^» , seh=^k 



u h ... u n ... u p-l 



se h = k 



Si vede di qui che il valore della derivata di P (a) si ottiene facendo 

 la somma delle derivate di P rispetto a ciascun coefficiente effettivo come (21), 

 che esso contiene, e indi moltiplicando il risultato per (23). Ora si riconosce 

 che, se è k <C p , V operazione che così viene a farsi non è altro che quella 

 rappresentata dal primo membro di una delle note equazioni differenziali cui 

 soddisfa un invariante qualunque delle forme date ridotte a contenere solo p — 1 

 variabili omogenee, cioè nelle quali si sia messo x p = 0 . Ma P è appunto 

 un invariante delle forme così ridotte, onde si vede che se è k<^p , il va- 

 lore della cercata derivata è zero, se /&={=#, ed è eguale ad w P , in cui co 

 è il peso dell' invariante P , se h = k. Se poi è k=p, l'esponente r s non 

 potrà che essere zero, perchè P non contiene mai il simbolo a p , e, per effetto 

 della formola (4), il risultato sarà P <ft> , se h<^p , e sarà evidentemente zero 

 se h—p, perchè P< a) non contiene « <?,) . Tenendo conto della (14) e delle 

 derivate di J, si ha perciò: 



tf=(^r) = 0 V evk<p , h^k 



= P (7i) per k=p , h 4= k 



P per h = k <Cp 



= — l (? + p per h = k = p 



Sostituendo in (18) i valori trovati (19), (20), (24), e osservando che 

 per (10) è P 0 -^j- = AJ e che è : y a s ^- = mJ, si hanno infine le equa- 

 zioni differenziali: 



(25) Ì^- + ^^T=Ó ' Ce-1,2,...^-1) 



(26) Z^iTT + ^^=--° > ( A 4=* ? hli = l,2,...p-l) 



3=1 



(27) ZÌ%%^-^^ = -P (/ "^ , (h = l,2,...p-l) 



