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(28) + Xi ^ = $U* - ? )J (* = 1 , 2 , ...^ - 1) 



J=) Otóy ÒXi 



p-l N -sT T 



(29) IZ^-^^-fJ 



di cui prime tre, quando si assuma per P il risultante delle <p , sono 

 precisamente le equazioni ottenute da Betti pei combinanti (*), salvo il can- 

 giamento di notazione. 



Come si vede noi veniamo così a trovare che le stesse equazioni val- 

 gono per una classe assai più vasta di covarianti e propriamente per 

 tutti quelli di cui si parla al principio del § 3. 



Si può esaminare che significato ha P cw quando P è, come nel caso di 

 Betti, il risultante delle tp. 



Fra le f x = 0 . . . f p -i = 0 eliminando Xi ... Xh-i %h+i ■ ■ • x p -i si ponga 

 il risultato sotto la forma 



(30) P x\ -f P (W x"-' x p -H ; • ■ = 0 



in cui è chiaro che il primo coefficiente P è il risultante delle / per x p = 0 , 

 cioè delle g>. 



Si può mostrare che il secondo coefficiente P (W di (30) è esattamente 

 ciò che risulta da (4). Giacché è evidente che, se nell' espressione simbolica 

 di P (risultante delle g>), in luogo di ah , fa , • • • , poniamo 



+ Xp 

 a p — 

 x h 



WL Xh 



si deve ottenere il primo membro di (30) diviso per X}?. Ora il mutamento 

 indicato corrisponde a porre in P, consecutivamente, in luogo di ciascun coef- 

 ficiente a* 1 ... a r ^ = a ri ... rp -i o la espressione : 



Ti / i Xm\ h v- , Xfn i 



a t ... «ft + flp — ) ... a*- 1 =a r ... r o + r h a r ... r ,-i,...r ,i— + 



1 V Xk! p 1 *-« ih' p-t' Xh 



(') Opere Matern. 1. 1, pag. 181, È bene avvertire che in Betti è incorso un evidente 

 errore di stampa, riprodotto anche a pag. 181 delle Opere Matem. Il primo termine del- 

 l' equazione che in Betti porta il numero (9) deve essere moltiplicato per y 0 ■ 



