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Meccanica. — Sulla deformazione delle piastre elastiche 

 cilindriche di grossezza qualunque. Nota di Tommaso Boggio, 

 presentata dal Corrispondente G. Morera. 



Nel § 43 della Théorie de VElasticité des corps solides (') il Clebsch 

 si occupa della determinazione dello stato d'equilibrio di una piastra cilin- 

 drica, di grossezza finita, sulla cui superficie laterale agiscono delle forze, 

 parallele alle basi, disposte simmetricamente (per ogni generatrice) rispetto 

 alla sezione media della piastra, in modo che esse non tendano a produrre 

 che estensioni o contrazioni, senza alcuna torsione o flessione. 



La risoluzione di tale problema dipende dalla conoscenza di due certe 

 funzioni y>,ip, che il Clebsch determina (op. cit. § 44), nel solo caso di 

 una piastra circolare, ricorrendo a sviluppi in serie, il che conduce a calcoli 

 assai complicati. 



In questa Nota, trasformo dapprima opportunamente le equazioni inde- 

 finite a cui soddisfanno le funzioni g> , ip (§ 1), poi introducendo certe tre fun- 

 zioni ausiliarie T n , T 12 ,T 22 . si trova che queste (limitatamente a due dimen- 

 sioni) debbono soddisfare ad equazioni indefinite della stessa forma di quelle 

 a cui soddisfanno le tre tensioni T n , T 12 , ... T 33 nel caso di un corpo continuo, a 

 tre dimensioni, e in equilibrio. In queste condizioni si possono allora applicare 

 le eleganti formole stabilite dal prof. Morera per la soluzione generale delle 

 equazioni indefinite dell'equilibrio di un corpo continuo, e si riconosce con 

 ciò che le tre funzioni T u , T 12 , T 22 anzidette possono sempre esprimersi 

 mediante le derivate parziali seconde di una stessa funzione biarmonica ; in 

 tal caso le equazioni ai limiti acquistano (§ 2) una forma semplicissima, 

 inquantochè, in ultima analisi, vengono ad esprimere che le derivate parziali, 

 rispetto ad x e ad y di una certa funzione biarmonica debbono assumere, 

 sul contorno, dei valori assegnati; e così la determinazione delle funzioni 

 <p , xp è ridotta alla questione, ormai classica, della ricerca della funzione 

 biarmonica in un'area piana, nel caso in cui, sul contorno, si conoscono i 

 valori assunti dalla funzione e dalla sua derivata normale: questione che 

 si sa risolvere per un grandissimo numero di aree. Da questa funzione biar- 

 monica si ottengono poi agevolmente (§ 3) le funzioni richieste g> , 



Nella questione dianzi esposta, rientra pure quella relativa alla deter- 

 minazione degli spostamenti longitudinali di una piastra isotropa piana, infi- 

 nitamente sottile, assoggettata, sul contorno, a tensioni date, agenti nel piano 



(') Traduzione francese di Saint-Venant et Flamant (Paris, a. 1883). 



