Le (1) possono ancora scriversi: 



(4) 



( JL (il i . x ìl\ i 1 ~ * JL (il i iÉ\ = o 

 \~òa:\'òx~ t ' 1y) 2 7?/ \~ì>y ose) 



) A( x ìlj,ìt\_L_ 1 ~ x X,(M . MV= o 



perciò introducendo le tre funzioni T n , T, 2 , T 22 definite dalle formole: 



~òx !>y 



iiiil 



-22 X -f- 



1)W 7)2/ 



avremo dalle (4): 



(6) ^1^ = 0 , ^L 2 J-^ = 0; 



' ~òx !>y l>x 1 7) y 



ponendo poi: 



(7) T = T U + T 22 , 

 segue subito dalle (5) : 



(8) 



ora dalle (1) derivando rispetto ad ^ e ad 2/ e poi sommando, risulta che 

 il secondo membro della (8) è funzione armonica, perciò: 



00 *T = 0 , (^ = ^ + ^). 



Ciò posto, possiamo ottenere delle espressioni assai semplici per le funzioni 

 T ;1 ,T 12 ,T 22 applicando la proprietà seguente: 



La soluzione più generale delle equazioni (6) è data dalle formole ('): 



(10) t t — T _^ 



ove TJ(x , y) è una funzione arbitraria. 

 Poiché dalle (10), (7) si ha: 



(11) T = ^ 2 U, 



ricordando la (9) si conclude che la funzione U deve essere biarmonica. 



(') Queste formole sono un caso particolare di quelle stabilite dal prof. Morera nella 

 sua Nota: Soluzione generale delle equazioni indefinite dell'equilibrio di un corpo con- 

 tinuo (Rendiconti di questa E. Accademia,, voi. I, 1° sem. 1892, pag. 234). 



