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ove F,Gr indicano funzioni completamente conosciute dell'arco s. Dalle prime 

 due delle (3) risulta poi che ritornando nel punto P 0 dopo aver percorso 



l'intero contorno s, si ritroveranno per — , — i valori (14), cioè queste 



funzioni assumeranno un solo valore in ogni punto di s. 



Si può ancora porre la condizione che nel punto P 0 debba essere V = 0, 

 allora il valore della funzione Y, in un punto qualunque P' di s , sarà dato 

 dalla forinola: 



cioè, per le (15) : 



(15,) Y= f P (Fdx + Gdy). 



Affinchè, al solito, ritornando nel punto P 0 dopo aver percorso l'intero con- 

 torno, si ritrovi per V il valore 0, dovrà essere: 



J^(F dx-{-Gdy) = Q, 



ossia, integrando per parti : . 



Ci d¥ d(3t\ . . 



e questa condizione è verificata, perchè adoperando le (15) essa si riduce 

 all'ultima delle (3). 



Dalle (15) si ha poi evidentemente: 



(16) ^-_ F ^ + G ^. 



an art dn 



Le (15i), (16) forniscono quindi, per ogni punto di s, il valore della 

 funzione V e della sua derivata normale, e poiché la V, come si vide, è 

 biarmonica, essa risulta da queste condizioni perfettamente determinata in 

 tutta l'area e . La funzione V si sa effettivamente costruire per molte classi 

 di aree('); nel caso poi in cui l'area data è un cerchio ('*), o si può rap- 

 presentare conformemente su un cerchio con polinomi interi ( 3 ), o più 



( J ) Levi-Civita, SuW integrazione dell' 1 equazione, J-, J a u = 0 (Atti della R. Acca- 

 demia delle Scienze di Torino, voi. 33, a. 1898). 



( z ) Lauricella, Integrazione dell'equazione J 2 (J s u) = 0 in un campo di forma cir- 

 colare (id., voi. 31, a. 1896). 



( 3 ) Almansi, Integrazione della doppia equazione di Laplace (Rendiconti della R. Ac- 

 cademia dei Lincei, voi. IX, 1° sem., 1900). 



Rkkdiconti. 1904. Voi. XIH. 2" Sem. 54 



