5. Nell'opera già citata il Clebsch si occupa (§ 41) di un'altra que- 

 stione relativa alla deformazione dei cilindri, la quale si riduce alla deter- 

 minazione di due funzioni u , v che, nei punti di una sezione retta e del 

 cilindro, verificano le equazioni indefinite : 



(23) ^ + ^ = 0 , ^_^=o, 



v ' ìx 1 ìy !>y ~òx 



e nei punti del contorno s di e soddisfanno all'equazione ai limiti: 



dx , dy _ 



<P essendo una funzione (nota) che ha per espressione : 



( 2B) *-*-a:(*i+'i)J>* " 



ove N è una funzione data nei punti di s, ed A è l'area di a. 



La determinazione delle funzioni u , v è stata fatta dal Clebsch nel 

 solo caso di un'area circolare (op. cit., § 42) e con sviluppi in serie; è però 

 facile mostrare come tali funzioni possano ottenersi agevolmente risolvendo 

 il problema di Dirichlet per l'area e 



Intanto dalle (23) risulta notoriamente che si può porre: 



(26) U = Yy ' V== ~Tx' 



ove U è una funzione armonica di x ,y\ la (24) diventa allora, ricordando 

 anche le (13) : 



~?U dx , 7>U dy ^ 



I -L _ (J) 



. . ~òx ds ~òy ds 



cioè : 



— = (p • 



ds 



si può porre la condizione che in punto qualunque P 0 di s sia U = 0 , 

 allora avremo in un altro punto qualunque P del contorno : 



(27) U = ) <I>ds, 



- Po 



e questa funzione assumerà effettivamente un sol valore in ogni punto di s, 

 se è soddisfatta la condizione 



-(28) :J~<Pds = 0; 



(!) Clebsch, op. cit., § 41,. eq. (147) bis. 



