Proverò ancora che: la successione di quelle frazioni razionali tende alla 

 radice in modo uniforme lungo circonferenze concentriche ; e troverò, nel senso 

 superiormente indicato, i limiti degli errori. 



Poiché la presente comunicazione fa seguito ad una Nota « Sulla con- 

 vergenza delle frazioni continue algebriche » , presentata insieme con questa 

 all'Accademia, non parlerò qui che di equazioni del 2° grado; ma i risulta- 

 menti saranno immediatamente estendibili anche ad equazioni di grado su- 

 periore, ciò che del resto ho dimostrato in una Nota preventiva, che è in 

 corso di stampa coi tipi di G-. Civelli in Bologna. 



Per classi, abbastanza estese, di equazioni alle quali non sarebbe appli- 

 cabile il metodo di Bernoulli, troverò un altro metodo, altrettanto facile e 

 rapido, di risoluzione approssimata. 



Farò poi risaltare le relazioni fra questo metodo e quello, esposto dal La- 

 grange, che dà lo sviluppo di una irrazionale numerica del 2° grado, in fra- 

 zione continua periodica. 



Darò ancora una dimostrazione, molto semplice, del teorema di Lagrange, 

 ed in fine, estenderò al calcolo della radice quadra approssimata di un po- 

 linomio razionale, alcuni metodi dati fino ad ora solo per le radici quadrate 

 dei numeri. 



1. Sia la forma alle differenze: 



(1) k(y) = y x+2 + Ja h f- h . y x+l + Y b n t r -* • y* 



e supponiamo che i coefficienti a h ,b h , sieno tutti costanti rispetto ad x. 



In questo caso, se ip x (t) è integrale di A(?/), lo è anche xp x+ì (t); ed 

 allora, se in un punto x 0 è: | ip Xlì | <. | </^„+i| , per quanto è stato dimostrato 

 al n. 4 della Nota precedente, il limite, per x che tende all'infinito, del 



rapporto ^ x+ ) ^ sarà una funzione analitica della t, regolare fuori di 



^Px{t) 



un cerchio di raggio determinato. Posso ora aggiungere che, fuori di quel 

 cerchio, rappresenta la radice di modulo massimo della equazione algebrica: 



(2) X' 2 -f a{t) X -f b(t) — 0 



r r 



a(t) = T a h t'-» , b(t) = Z b H t r -* . 



Ed invero, se a , § sono le radici, in ordine di modulo non crescente, 

 si ha identicamente (') : 



(3) xp x =k^-\-k^ 



(') Cfr. Lagrange, Opere, t. I, pag. 24: Sur V integration 



