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sare per le intermedie. Questo risultamento però è immediatamente conse- 

 guito applicando il metodo che ho esposto ai numeri precedenti, perchè la 

 frazione continua (18) è appunto quella che sarebbe generata dalla forma (19). 



Sostanzialmente dunque il metodo esposto consiste nel trasformare li- 

 nearmente la radice cercata in una quantità sviluppabile in frazione con- 

 tinua, tale che la legge di formazione per ridotte consecutive sia costante; 

 e sia quella medesima che si avrebbe, per ridotte congrue al modulo p, 

 nello sviluppo della radice cercata. 



5. Si abbia una equazione numerica: 



(20) ax % + 2for — <? = 0. 



Dico che nello sviluppo: 



ac — b x b 2 



ax — b. 2 -\- 



si può sempre supporre ac — b\b% = 1. 



Ed infatti, dalle due: b ì — b 2 -=^2b, b l b 2 = ac — 1 si ricava: 



(21) by = b + \/b* + ac — l b, =•= — b + yV^~a~c~^ì . 



Poiché si ottiene una equazione equivalente alla data sostituendo ad 

 a,b ,c, numeri proporzionali a' == ua , b' = uò, e = uc ; la questione può 

 ridursi a quella di determinare u in guisa, che la quantità j/u 2 b 2 -f u 2 ac — 1 

 sia un quadrato perfetto. Si giunge così all'equazione Pelliana: 



(22) u\b°- — ac) — t z = l 



la cui soluzione non offre difficoltà. 



6. Le formule trovate, al numero precedente, ci mettono sulla strada per 

 dare una facile dimostrazione del teorema, dovuto a Lagrange, che: un ir- 

 razionale di 2° grado si sviluppa in frazione continua periodica ('). 



Sia infatti y radice della (20), onde 



(23) y = S(y) = 



ay+ b 



con 



b 2 c 

 a bi 



— 1. 



Sia X il quoziente completo di ordine n nello sviluppo di y in frazione 

 continua ; avremo : 



(24) y = T(X) = P»X -f- Pn_i 



Q„X -f- Q n _! 



(') Quella data da Emma Bortolotti nel tomo IX dei Rendiconti del Circolo Mate- 

 matico di Palermo, non è immediatamente applicabile ad equazioni numeriche. 



