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Da cui 



(25) 



X == T" 1 ST(X) = 



AX-f-B 

 CX-j-D 



(26) 



A 

 B 

 C 

 D 



(P 2 _i 

 a Qv! ^' ~~ 



p*-l 



p 



b 



Qn— I 



Qn 



b ) ^~ n ~ l 



Q«-i 



H 



Qrt l P»— 1 P" i ? Pn 7 Pn— 1 \ 

 n-i<4n\a^ — 7r+^'rr~ è2 n — ~° 



I trinomi fra parentesi, nelle espressioni di B e di C, hanno segni con- 

 P _ P 



trarì perchè - e ~ comprendono una radice ; i due numeri B e C, hanno 

 i Sin 



dunque lo stesso segno. 

 Si ha poi 



A 

 B 



Qn 



Qn— i 



a 



1 + 



P«— i 



Qn— 1 



P 2 P 



J- M— l 1/7, 7, \ X «—1 



(-1)" 



Qn Qn— 1 



Q' «— 1 



Qn-1 



Per una nota proprietà delle ridotte, ( — 1)' J ed il trinomio a denomi- 

 natore hanno il medesimo segno; si ha poi, dalle (21): y^> — ; dunque, 



Cb 



>• b 2 ; dunque A > B 



p 



se n è abbastanza grande; a 



Qn— 1 



Analoga dimostrazione può farsi per C e D. I quattro numeri A, B, C, D 



sono dunque tutti positivi. Si ha poi: AD — BC = =t 1. Cioè i numeri — 



0 



e — sono ridotte consecutive nello sviluppo di X in frazione continua. 



La formula (24) ci dimostra allora che X è un quoziente completo nello 

 sviluppo di X stesso in frazione continua. 



7. Come applicazione dei metodi generali dati ai numeri precedenti, si 

 cerchi la radice quadrata di un polinomio intero di grado pari A. 



Dovendo risolvere 1' equazione 



(27) 



X 2 — A = 0 , 



faremo : b h — Q (h = 1 . 2 ...) nelle formule (15), e troveremo così un polino- 

 mio b di grado n tale che la differenza A — b % sarà di grado n — 1 al più. 

 La formula (13) si trasformerà allora nella seguente: 



