Rimane così dimostrata la convergenza uniforme della verso la U(7) 



lungo ogni circonferenza (Ru.) , se > 2. 



Per un noto teorema, dovuto a Weierstrass, potremo dunque concludere 

 che U(/) è una funzione analitica di t regolare fuori del cerchio (R 2 ) . 



5. Tutte le condizioni richieste per le <j. x (t) , ip x {t) sono certamente sod- 

 disfatte dai numeratori e dai denominatori della ridotta di ordine x nella 

 frazione continua: 



(20) ait)+ t m m — 



Quando dunque il grado di una qualunque della a x {t) non sia supe- 

 rato da quello della b x (t) corrispondente, ed esistano limiti superiori fi- 

 niti per i valori assoluti delle somme dei coefficienti di potenze simili di t 

 nei due piotinomi a(t),.b(t); e, di più, i valori assoluti dei coefficienti 

 della massima potenza di t in a x (t) , non abbiano limite inferiore nullo, si 

 può asserire che la frazione continua (20) converge fuori di un cerchio 

 di raggio determinato e rappresenta una funzione analitica della t , rego- 

 lare fuori di quel cerchio. 



Si noti che l'esistenza di quei limiti superiori, ed inferiori finiti, è posta 

 fuor d'ogni dubbio quando i coefficienti a h , x , b^ x delle potenze di t nei due 

 polinomi a x {t) , b a (t) , non abbiano che un numero finito di valori diversi in 

 tutto il campo r ; così in particolare : Una frazione continua periodica 

 algebrica (20) è sicuramente convergente fuori di un dato cerchio, e defi- 

 nisce una funzione analitica, alla sola condizione che il grado di ogni b x (t) 

 sia inferiore di quello della a x (t) corrispondente. 



Così le frazioni continue, più spesso considerate (') 



(21) flo.o* + «i,o + ^~ 



«i,o* + «i.! + , , ' — htt: 



Oi,ot -j- «2,1 T" 



nelle quali le b x sono supposte costanti rispetto a t , e le a x sono lineari 

 nella t , convergono sicuramente fuori di un dato cerchio, quando sono 

 periodiche. 



Matematica. — Sulla rappresentazione approssimata di 

 funzioni algebriche per mezzo di funzioni razionali. Nota di E. 

 JBortolotti, presentata dal Socio Cerruti. 



Questa Nota sarà pubblicata nel prossimo fascicolo. 



(') Possé, Sur quelques applications des fractions continues algébriques, S' Peters- 

 bourg 1886 ; Heine, Handbuch der Kugelfunctionen (t. I, cap. V.). 



Rendiconti. 1899, Voi. Vili, 1° Sem. 5 



