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La condizione (4) prenderà la forma: 



! a 0 , x f + ;■■ + a r , x | > | b hx t r ~) -j j- b r ,„ ] -f- 1 -f r ; , 



e sarà certamente soddisfatta se: 



(8) \a 0 ,x\Q r >\a ua - -\- b ux \q r - 1 -\ h K* + + 1 -f rj. 



Poniamo che esista, diverso dallo zero, il limite inferiore a delle \a 0tCC \, 

 ed esistano anche, finiti e determinati, i limiti superiori A 0 , Aj , ... A r , dei 

 moduli : \a^ x \ ,\a hx -j- b hx \ , ... ,'.a r , x -f- b r , x \ . 



La condizione (8) sarà, a più forte ragione, soddisfatta se: 



"? r > Ai^f H f-Ar+l + ^y- 



Quest' ultima però è certamente soddisfatta per tutti i punti / = ge a . 

 che sono esterni al cerchio (RJ, dove sono racchiuse tutte le radici della 

 equazione, a coefficienti reali : 



(9) — Ayf- 1 — A, — 1 — ti = 0 ; 



ed allora per tutti i punti situati fuori di questo cerchio, o sulla circonfe- 

 renza, si avrà la limitazione: 



yWi(/) 



<fa{t) 



Cioè : Se <pjj) è un integrale della k(y) che in due punii consecutivi ,x 0 , 

 x<s -j- 1 , dell'insieme r, e per un determinato valore t 0 = Q 0 e if> 0 , assume 

 valori crescenti,, in modulo, 



|9V«-i(*o)l>l$P*(*o)l , 



la successione: 



IMO l'i |SP«H-l(*)| ,1^+2(01 1 



tende all' infinito, sempre crescendo, per ogni punto t situato fuori di un 

 cerchio (RO che contenga nel suo interno il punto t 0 e tutte le radici della 

 equazione numerica (9). 



In particolare: Nessuna delle funzioni (f Xo (t) , <Px 0 +i (t) , ... può aver ra- 

 dici situate fuori del cerchio (Ri) . 



3. È facile determinare anche un cerchio (R^) tale che, per tutti i punti 

 situati fuori di questo cerchio, o sulla sua circonferenza, sia: 



in qualunque modo il numero positivo /i sia stato scelto. 



Basterà infatti determinare un limite superiore dei moduli delle radici 

 della equazione numerica: 



j <*Q r — B,?'" 1 B r = 0 



( B s — lim sup. di | a SjX -f- pb,, x \ , 

 per avere il raggio di quel cerchio. 



