— 29 — 



Poiché gli algoritmi periodici sono particolarmente importanti per la 

 rappresentazione approssimata delle funzioni algebriche ('), così mi sono occu- 

 pato di stabilire delle condizioni sufficienti per la loro convergenza, ed ho 

 brevemente esposto il metodo ed i principali risultamenti, in una nota che è 

 in corso di stampa. Qui tratterò, con maggior larghezza, il caso più semplice 

 ed ovvio delle frazioni continue ; ma il ragionamento sarà condotto per modo 

 che risulti manifesta la possibilità della generalizzazione ad algoritmi di 

 ordine superiore. 



1. Sia la forma alle differenze 



(1) A(y) = t/Zz + a x y x+l + bjj x , 



e sia (f x un suo integrale. Si avrà identicamente: 



(2) 



(3) 



<fcc 



— = a K + b a 



Se, in un determinato punto z 0 , sono soddisfatte le condizioni : 



>1 



(4) Ki>l^o|.+ l + } ?' 



con i\ quantità positiva, sarà ancora: 



(5) 



|«*J + |** 0 |> 



>1 + 



Se poi, la condizione espressa dalla (4), è soddisfatta in tutti i punti 

 dell' insieme ordinato T , che vengono dopo x 0 , si avrà costantemente : 



<f X +l 



<f X 



>i-H> 



e la successione dei odori assoluti che la y prende nei punti del campo F, 

 tenderà all' infinito sempre crescendo. 



2. Sieno ora a x , b x , funzioni razionali ed intere della variabile com- 

 plessa t : 



a x = a 0 , x f + a ììX f 1 -\ \- a r 



b x = b x , x r- 1 + ^ r- 2 H \-b r , 



supponiamo inoltre che a 0 , x sia sempre diversa dallo zero e, che così, il grado 

 di a x (t) sia superiore a quello di b x (t). 



(!) Cfr. Sulla generalizzazione delle frazioni contìnue algebriche periodiche (Rend. 

 Circolo Mat. di Palermo, tomo VI) ; Un contributo alla teoria delle forme lineari alle 

 differenze, § V (Annali di Mat. 1895). 



