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Ora immaginiamo di ordinare nell' intervallo (a, b) a partire da a gli 

 intervalli 3- secondo la serie crescente dei valori in essi fìssati per f(x); 

 e gli intervalli d" secondo la serie decrescente analoga a partire da b. 



Da ciò che precede risulta che facendo crescere indefinitamente n ed 

 impiccolire a e r, noi possiamo fare in modo che il valore massimo della prima 

 serie ed il minimo della seconda vengano a coincidere nel punto a -j- l A 

 (o b — L A ) col valore A. 



Ma anche i valori di <p n collo stesso procedimento dovranno in a -J- l x 

 assumere al limite il valore A ; difatti nell' intervallo compreso fra a -j- / A _ c 

 e b — L A+T i valori di q „ sono compresi fra due limiti i quali, per n abba- 

 stanza grande, differiscono da A — a ed A -j- x di quantità piccole ad arbitrio. 



Dunque possiamo concludere che, colle condizioni poste, la funzione ordi- 

 nata Of(x) esiste ed è identica alla r(x). 



Per brevità non insisteremo sulla estensione, abbastanza facile, di questo 

 risultato ai casi in cui f{x) soddisfa alle condizioni enunciate alla fine del § 2. 



§ 4. Non sembra facile assegnare regole generali per calcolare la funzione 

 ordinata di una data funzione, specialmente partendo dalla sua definizione. 

 Talvolta può essere molto più opportuno ricorrere invece alla costruzione 

 della funzione r(x) , come ora mostreremo con qualche esempio. 



a) Se la funzione f(x) nell' intervallo (a, b) è sempre decrescente, è 

 evidente che la sua ordinata sarà f(a -J- b — x). 



§) Sia la f(x) composta di due rami simmetrici rispetto al punto ^ Q , 



cioè soddisfaccia alla relazione 



e di pm tra x — a ed x = — - — sia f(x) sempre crescente, per cui fra 

 ^ e b sarà sempre decrescente. 



Li 



Sia a un valore di x compreso fra a e — - — e sia f(a) — A. La fun- 



zione assumerà valori inferiori ad A fra a ed a e fra b — a e b , dunque 

 avremo l A = 2« e perciò 



x 



0/(*) = /(f 



Se invece la f(x) fosse dapprima decrescente fra a e poi cre- 



scente, si avrebbe 



