mentre negli estremi si ha 



f(x\) = f{x'\) = A 

 /'«, + '/ ■) = /«-*) = A ~ a 



Determinando così i numeri /; ed s per ciascuno degli intervalli (ce k , x'\), 

 ed anche per gli estremi (a, x A ), (x x , b) , potremo escludere dall' intervallo 

 (a, b) tutti i punti x K mediante dei piccoli intervalli (x A — e , x k + r /) tali 

 che i valori di f(x) in questi stessi intervalli sono compresi fra A — <x ed A -f- x , 

 mentre in ciascuno dei rimanenti la f(x) o è sempre minore di A — e , o è 

 sempre maggiore di A -f- %. È chiaro poi che quando a e % si avvicinano 

 allo zero, anche tutti i numeri s ed ìj devono pure tendere a zero. 



Supponiamo ora fissata una legge qualsiasi di divisione dell' intervallo 

 (a,b) in intervalli parziali tendenti a zero; sia ó x , d 2 , ... ó» una di queste 

 divisioni e consideriamo la corrispondente funzione g> h (x) del § 1. 



Per ogni valore A della f(x) e per ogni numero a e r soddisfacente alle 

 condizioni precedenti, noi possiamo sempre supporre n abbastanza grande, 

 perchè tutti gli intervalli S { , nei quali cadono punti x x siano per intero 

 contenuti negli intervalli (x k — e , x\ + >/), cioè in modo che nessuno dei 

 loro estremi coincida cogli estremi di questi. 



Immaginiamo dapprima soppressi nella f\x) gli intervalli (a\ — s , x\ -f- r/)., 

 e, fissato per ogni intervallo , o porzione di intervallo ^ rimanente, un 

 valore f(xi) di f(x) , noi potremo dividere tutti questi intervalli in due 

 gruppi, l'uno composto di tutti quelli nei quali f(x{) < A — a , l'altro di 

 quelli nei quali f(xì) A -f- t. 



Indicando con ^_ò' t la somma dei primi, e con 2_<*" la somma dei 

 secondi, avremo 



^ à i — / A -cr i = La+t 



e poiché (§2) 

 sarà 



X d'i < L < La . 



D'altra parte, indicando con X la somma degli intervalli che 

 abbiamo trascurato, si ha 



U'i + + = b — a, 



e quindi, poiché Vf, può rendersi piccola ad arbitrio, possiamo conclu- 

 dere che y<5"i, e per a e x abbastanza piccoli, differiranno rispet- 

 tivamente da L ed L A tanto poco quanto si vuole. 



Rendiconti. 1899, Voi. Vili, 1° Sem. 2 



