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§ 3. Ritorniamo ora alla questione enunciata nel § 1. La funzione r(x) 

 coincide, in generale, colla funzione, di cui ci siamo proposti di provare 1' esi- 

 stenza; cioè si ha 



lim <p n (x) = r(x) . 



Noi ci limiteremo, per ora, a dimostrare tale coincidenza per le fun- 

 zioni che, oltre a soddisfare alle condizioni del paragrafo precedente, non 

 fanno nell' intervallo dato che un numero finito di oscillazioni. Ciò del resto 

 è sufficiente per le applicazioni che di queste proprietà si possono fare a 

 problemi fisici. 



Escludiamo ancora che vi possano essere nella f(x) tratti di invaria- 

 bilità o discontinuità. Per una tale funzione il gruppo G A , qualunque sia il 

 valore A, è composto di un numero finito di punti. Neil' intervallo compreso 

 fra due consecutivi di questi punti x A , x" A , se f(x) è superiore ad A avrà 

 almeno un massimo, e potrà avere anche dei minimi, i quali supereranno 

 tutti A di una certa quantità finita m. 



Ciò posto, dato un numero positivo x abbastanza piccolo perchè sia 



0 < t < m , 



si potrà sempre trovare, a cagione della continuità di f[x), nell' intorno a 

 destra del punto x' A , un punto x A -J- rj , nel quale sia f{x) = A -J- x , mentre 

 nell' intervallo (x A , x\ -j- /,) la f\x) è sempre minore di questo valore. 



Analogamente nell' intorno a sinistra del punto x" A si potrà sempre tro- 

 vare un punto x" A — s nel quale f{x) = A -j- x , mentre nell' intervallo 

 (x"a — « , %"a) la f(x) è sempre minore di questo valore. 



L' intervallo (x\ , x" A ) resterà così diviso nei tre intervalli seguenti : 



{x\ , x' k -\-rf) nel quale f(x)<Ck-\-t 

 (x' A -j- r; , x" A — s) * f(x) > A -f- X 



(x" A — s , x" A ) » f(x)<C.A--\~x 



mentre negli estremi di quegli intervalli si ha 



f{x\) - f{x\) =A 

 f{x A -r ti) = f{x" A — f ) = A -J- v 



Similmente si può procedere se in {ce A , x" A ) la f{x) è inferiore ad A. 

 Si potrà in questo caso, dato un numero a abbastanza piccolo, dividere l' in- 

 tervallo stesso nei tre intervalli 



(x' A , x A -j- rf) nel quale f(x) >> A — a 

 (x' A -\- ì] , x" A — f ) » f(x) < A — c 

 (x" A — s , x" A ) » f(x) > A — e 



