Da queste considerazioni risulta che, colle ipotesi stabilite, ad ognuno 

 dei valori A compresi fra il minimo valore m assunto dalla funzione ed il 

 massimo M (non esclusi questi valori estremi) corrisponde un valore deter- 

 minato a -\-l K (oppure b — L A ) della x compreso nell' intervallo (a , b). 



Possiamo inoltre dimostrare che questa corrispondenza è biunivoca, cioè 

 che per essa ad ogni valore della x non può corrispondere più di un valore 

 della funzione, ossia che indicando con A' un altro valore della funzione, dif- 

 ferente da A, non può essere 



L r = U ■ 



Difatti supponiamo, per rissare le idee, che sia A' > A. La funzione f(x) 

 non può assumere il valore A' in alcuno degli intervalli che compongono 

 l k ; lo dovrà quindi assumere almeno in uno degli intervalli che compongono 

 L A . Ora se fosse l K — l A r , sarebbe anche L A > = L A , cioè f{x) in tutti gli in- 

 tervalli che compongono L A supererebbe A', e non potrebbe quindi assumere 

 in tutto (a , b) alcuno dei valori compresi fra A ed A' ; il che è contrario 

 ad una delle proprietà fondamentali delle funzioni continue. 



Da questo ragionamento segue che se A' J> A, dovrà essere anche 



L> > L e quindi L A > < L A . 



Possiamo dunque concludere che esiste una funzione r(x) ad un va- 

 lore e sempre crescente neW intervallo (a , b), che varia da m ad M, e che 

 può essere definita dalla relazione 



r(a -f L) = f(x k ) 

 o, ciò che è lo stesso J dalla reiasione 



r(b-L x ) = f(x,). 



Questa funzione è anche necessariamente continua. Difatti, se presentasse 

 una discontinuità, essendo essa sempre crescente, questa non potrebbe con- 

 sistere che in un salto da un valore A ad un altro A', che ne differisce di 

 una quantità finita. Ma ciò è in contraddizione colla proprietà, già invocata, 

 della funzione f(x), per la quale essa deve assumere tutti i valori da m ad M. 



Le considerazioni precedenti possono essere facilmente estese a funzioni 

 più generali della f(x) da noi studiata. Senza entrare in troppi particolari, 

 osserveremo che ciò può farsi : 



1°) per le funzioni continue che abbiano un numero finito di tratti 

 di invariabilità. Questi tratti si riprodurranno allora inalterati nella r(x); 



2°) per le funzioni aventi un numero finito di discontinuità ordinarie, 

 quando il valore della funzione in questi punti di discontinuità o manca, o 

 è compreso fra i due valori limiti che la funzione assume a destra ed a 

 sinistra di essi. In questi casi la r{x) potrà presentare delle discontinuità 

 analoghe. 



