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Ora noi dimostreremo che, sotto certe condizioni, anche la (p n (x) tende 

 a costituire una nuova funzione, indipendente dalla legge di divisione del- 

 l' intervallo {a , b) e dalla scelta dei valori negli intervalli par- 

 ziali. Questa funzione, quando esista, per la legge stessa di formazione, sarà 

 sempre crescente, nel significato già usato, in tutto l'intervallo (a , b), e noi 

 la chiameremo la ordinata di f(x), indicandola con Of(x); per cui sarà 



Of(x) = lim <p n (x). 



ìi=oo 



Dalla definizione risulta immediatamente una proprietà fondamentale 

 della Of(x). Per ogni divisione dell' intervallo (a , b) in intervalli parziali 

 si ha infatti 



1/KK = 1/W d'i 



i=l i=l 



quindi al limite sarà 



(2) f f( x )dx= \ Ò Of{x)dx. 



a a 



Si vede subito quale sia la proprietà delle serie (1) (Y) che corrisponde 

 a questa delle funzioni f(x) , Of(x). 



§ 2. Supponiamo che la funzione data f(x) sia continua ed escludiamo 

 che possa essere costante in alcun tratto finito di (a , b). 



Sia A uno qualunque dei valori che essa assume ; a questo valore cor- 

 risponderà un gruppo di punti x A , che chiameremo G A , pei quali si ha 



f(x A ) = A . 



Questo gruppo potrà essere finito od infinito. Neil' intervallo compreso 

 fra due punti x A consecutivi, a cagione della continuità, la f(x) assumerà 

 valori o tutti maggiori, o tutti minori di A ; e lo stesso avverrà nei due in- 

 tervalli estremi compresi fra a e b ed il primo e l'ultimo rispettivamente 

 dei punti x \ , se a e b non appartengono al gruppo G A . Per cui mediante 

 il gruppo G A noi possiamo immaginare l' intervallo (a , b) diviso in due ca- 

 tegorie di intervalli : 1' una costituita da tutti gli intervalli, compresi fra due 

 punti consecutivi z A , nei quali f(x) prende valori inferiori ad A, 1" altra co- 

 stituita dagli intervalli nei quali f(x) prende valori maggiori di A. 



Le somme delle lunghezze degli intervalli di ciascuna categoria sono 

 sempre finite e determinate. Infatti nessuna delle due può superare b — a, 

 ed entrambe sono composte di elementi tutti positivi. Indicando allora con 

 L la somma degli intervalli nei quali f (x) << A, e con L A quella degli in- 

 tervalli nei quali / (x) > A, avremo 



l A -j- L A = b — a . 



