meri a, sono disposti in serie crescente. Questa disposizione si può sempre 

 fare in modo unico, quando i numeri dati sono tutti differenti. Potrà esservi 

 qualche arbitrarietà quando alcune delle a-, siano uguali fra loro. Questa ar- 

 bitrarietà però non ha influenza sui valori delle di che competono ai posti 

 1,2, ... a, per cui la serie dei valori {!') è sempre unica. 



Sia data ora una funzione f{x) reale, ad un valore, sempre finita in un 

 certo intervallo finito da x = a, ad x = b. Noi possiamo immaginare nello 

 stesso intervallo infinite funzioni, sempre crescenti, le quali variino dal limite 

 inferiore m al limite superiore M dei valori che la f(x) assume nell' inter- 

 vallo (a , b). Ora fra queste, date certe condizioni, ne esiste una, la quale 

 ha, rispetto alla funzione data, proprietà analoghe a quella della serie (1') 

 rispetto alla serie (1), e può quindi, in certo modo, considerarsi come rap- 

 presentante la serie ordinata crescente degli infiniti valori della funzione data. 

 Questa funzione si presenta spontaneamente nella soluzione del problema 

 d'idrostatica, che indicherò. 



Dividiamo l' intervallo {a , b) in un numero qualunque n di intervalli 

 parziali, che indicheremo con J, , <T, , ... S n , e siano x x , x % , ... x n valori della 

 variabile indipendente scelti arbitrariamente in ciascuno di questi intervalli ; 

 a questi corrisponderanno i valori 



della funzione. Costruiamo poi una nuova funzione f n (x), fissando che essa sia 

 costante in ciascuno degli intervalli d { , ed abbia precisamente il valore f{xi) 

 in tutto Si. 



Ordiniamo poi gli intervalli * i ? supposti invariabilmente connessi coi 



rispettivi valori in una nuova serie ó '^ 0 ' 2 ' - in modo che [ C ° 1 '" 



rispondenti valori 



f(x' 1 ),f(x\),...,f(x' n ) 



vengano a costituire una serie crescente, per la quale cioè si abbia f\x'i) 

 < f(x'i+i); e indichiamo con <p n (x) la nuova funzione così ottenuta ('). 



È chiaro che se noi supponiamo che il numero degli intervalli Si cresca 

 indefinitamente, secondo una legge qualsiasi, ma in modo che, da un certo 

 valore di n in poi, tutti gli intervalli stessi si riducano minori di una quan- 

 tità prefissata arbitrariamente piccola, la funzione f n {x) tenderà, in generale 

 almeno, a riprodurre la funzione data, cioè sarà 



f{x) = Mmfn (x). 



n=oo 



(ij Nei punti di separazione fra due intervalli la f n e la cp n hanno una sin- 



golarità che può essere considerata come una mancanza di valore in quei punti. Per le 

 considerazioni che seguono non vi è bisogno di determinare tali valori; però, volendo, si 

 potrebbe fissare che le due funzioni assumano, come valore, la media dei due valori che 

 esse hanno rispettivamente in cfi e <JWi ■ 



