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sviluppare poscia, nell' espressione di V, il valore reciproco della distanza fra 

 un elemento di massa dello sferoide ed il punto variabile secondo potenze 

 decrescenti di r. Con ciò l' equazione di sopra si riduce immediatamente ad 

 un' espressione della funzione P in una serie che procede per funzioni sferiche. 



Nasce ora spontanea l'idea di seguire nel caso del piano e del poten- 

 ziale logaritmico la medesima via tenuta da Laplace per lo spazio e per il 

 potenziale Newtoniano, al fine di giungere così ad una dimostrazione sem- 

 plice — ed in ogni caso non inutile dal punto di vista didattico — della 

 sviluppabilità di una funzione angolare in serie di Fourier. Se non che si 

 cade per questa via nella difficoltà che la forinola di Laplace può bensì, 

 come ha dimostrato l' autore stesso, venire estesa a potenziali elementari, che 

 sieno proporzionali a qualsiasi potenza della distanza, ma non è applicabile 

 al potenziale logaritmico. Mi propongo ora di mostrare che per quest' ultimo 

 vale una relazione di carattere un poco diverso, la quale permette nel piano la. 

 medesima applicazione, che viene offerta dalla relazione di Laplace nello spazio. 



A questo scopo consideriamo un' area occupata da materia di densità q, 

 il cui contorno differisca infinitamente poco da una circonferenza di raggio a 

 (circonferenza contigua) in modo che il raggio vettore che va ad esso venga 

 rappresentato dalla forinola (2) col medesimo significato dei simboli che vi 

 compaiono. Allora la funzione potenziale logaritmica di queir area materiale 

 sopra di un punto esterno alla distanza r dal centro della circonferenza può 

 venire considerata come la somma delle funzioni potenziali del cerchio e della 

 striscia infinitamente sottile che rimane, ove si immagini tolto il cerchio 

 stesso e che avrà densità ora positiva ora negativa, ossia si potrà porre : 



(3) V = — ti q a? logn (r 2 ) — sq a |p logn (e' z ) ds , 



in cui ds denota 1' elemento lineare della circonferenza contigua, ed e la sua 

 distanza dal punto variabile ; infatti la striscia essendo infinitamente sottile, 

 può venire sostituita da una distribuzione lineare. La (3) vale per qualsiasi 

 posizione del centro del cerchio a, semprechè il suo contorno si scosti infi- 

 nitamente poco dal contorno effettivo del disco. 



Nel seguito noi attribuiremo però un valore invariabile al raggio a e 

 per il momento anche una posizione speciale c' al centro, in modo che la 

 circonferenza contigua tagli il raggio vettore r nel medesimo punto, ove lo 

 taglia il contorno del disco. Nella figura la circonferenza a tratto continuo 

 corrisponde alla posizione qualsiasi del centro o, quella punteggiata alla po- 

 sizione ora specializzata del centro c ; p indica il punto variabile, e mentre 

 la distanza cp è eguale ad r, la distanza c'p è indicata con r'. In tali ipo- 

 tesi si ha pure: 



(4) V = — 7r ? a 2 logn(r' 2 ) — eqa (V logn (e' 2 ) ds , 



