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2. Considero da prima un caso particolare. Il contorno dell' area data a', 

 i cui punti suppongo riferiti ad un sistema di coordinate ortogonali x , y, 

 si ottenga facendo variare fra 0 e 2tt il parametro 0 nelle due equazioni: 



x = cos 0 -\- a cos 20 , 

 y' = sen 0 -j- a sen 20 , 



ove a è una costante, in valore assoluto minore di — . 



Sia U' la funzione bi-armonica, che si tratta di determinare. Questa fun- 

 zione potremo sempre rappresentarla con due funzioni armoniche n 0 ' , a/ , 

 mediante la formula: 



IT = ilo -f- x'u\ (')• 



Facciamo ora la rappresentazione conforme dell' area a' , sul cerchio o\ 

 di raggio 1, appartenente al piano (xy). Perciò basterà porre: 



x = r cos 0 + ar- cos 20 , j r ^ + r 

 ij — r sen 6» -f- «r 2 sen 20 , j 0 = are tag — 



ovvero : 



come si verifica immediatamente. 



Diciamo U , u 0 , Mi , le funzioni U' , u 0 ' , ih' , espresse mediante le varia- 

 bili x , y. Sarà : 



(1) U = u 0 -j- j «a? -f- «(« 2 — # 2 ) | ih . 



Le funzioni w 0 (^ , y) , , y), sono ancora armoniche. Ne segue che 

 la funzione TJ(x , y) è tri-armonica. Essa infatti è la somma della funzione 

 armonica u 0 , e di una funzione tri-armonica ottenuta moltiplicando la fun- 

 zione armonica u x , per la funzione razionale intera del 2° grado x-\-a(x 2 — y 2 ). 



■ Potremo dunque rappresentarla con tre funzioni armoniche v 0 , v 1 , v 2 , 

 ponendo : 



(2) U = », + (r 2 — 1) y, + (r 2 - l) 2 y 2 . 



( L ) Questa, ed altre proprietà delle funzioni poli-armoniche, di cui mi valgo più avanti, 

 si trovano dimostrate, con qualche restrizione, che però può eliminarsi, nella mia Memo- 

 ria : SulV integrazione dell' equazione differenziale A ìn = 0. Annali di matematica, tomo II, 

 serie III, a. 1898. 



