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Sulla circonferenza del cerchio a noi conosciamo la funzione U, e la sua 

 derivata normale ^ . Sia U = y , ^ \ = xp. Per l'equazione (1), sarà: 



L ^> v _h=i 



IP 



Queste formule permettono di determinare in tutto il cerchio <r le due 

 funzioni armoniche v 0 , v x : dopo di che, non avremo più da occuparci delle 

 condizioni al contorno. 



Ottenute le funzioni y 0 , v x , uguagliamo i due secondi membri delle equa- 

 zioni (1) e (2): 



u Q + \x + a(x 2 — f)\ Ul = v 0 + (r 2 — 1) Vl + (r 8 — l) 2 y 2 . 

 Su questa equazione eseguiamo l' operazione . E poniamo inoltre : 



Dui ~bw . ~ìw . 



= X h V -f- C i , 



7>20 ~ÒW , 

 — — ^ — — w U c 



l>y 1>y J !>x 1 



essendo w una nuova funzione armonica, c , e, , c 2 due costanti : ciò che può 

 sempre farsi. Si otterrà: 



Ma, in un' area piana che contiene 1' origine delle coordinate, perchè una 

 funzione bi-armonica r 2 u -f- v, espressa mediante le due funzioni armoniche 

 u , v, possa essere identicamente nulla, è necessario che siano nulle le due 

 funzioni armoniche. Sarà dunque: 



(3) — = w lì r — = wt ì 



1)X ir 



da cui, eliminando la w , si ricava : 



, ~òWi "ÒW 2 



(4) + = 



equazione in cui comparisce una sola funzione incognita, la v 2 . 

 Sostituendo a w x , w 2 le loro espressioni, e ponendo: 



Xi = x-\-2a, fi=y, r^yxì + tjìi 



»S = «8 + »*1 ~ « 7~ + O a °l ' 



7)^ T^i 2 



