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l'equazione (4) può scriversi: 



7)^1 



da cui, la funzione y 3 essendo armonica, e 1' origine delle coordinate Xi , y x , 

 cadendo entro il cerchio, si deduce : v z = 0 ; vale a dire 



1 l)x x 2 



L' unica funzione armonica che verifica questa equazione, è quella espressa 

 dalla formula: 



v 2 = — — dr x — - a 2 ^ . 



7*1 U o uX\ Ci 



dove le w x , , sono funzioni armoniche, date dalle formule : 



^2 = — 4 | y 2 + r ^ | + 2 j ai + r ^ j — 2«(<? lt r — c^) + d . 



Le quantità in parentesi sono pure funzioni armoniche. 



Il valore della costante d , che ancora non conosciamo, si determina os- 

 servando che, per la seconda delle formule (3), la funzione io 2 deve annul- 

 larsi nell' origine delle coordinate x , y. Tenendo conto di questa condizione, 

 2 



si trova: Ci — — "~2a^^ v ^ lì * n cu * ( Vl ^ ra PP resen ^a il valore della fun- 

 zione Vi nella origine delle coordinate x x ,y x . 



Così avremo determinato tutte e tre le funzioni che compariscono nella 

 formula (2). E il problema sarà risoluto. 



3. Un procedimento analogo, che però condurrà, in generale, a conside- 

 rare nel piano (xy) una funzione poli-armonica TJ, d' un ordine superiore al 

 terzo, si potrà applicare tutte le volte che la rappresentazione conforme del- 

 l' area a' sul cerchio ff, si fa colle formule : 



x =y_r n (a n cos n& -f- b n sen nd) , 

 y' — 2_ r n (a n sen nd — b n cos nd) , 



ove s'intende che l'indice n assume un numero finito di valori, uguali per 

 l' una e per l' altra formula. 



Con un metodo analogo si potrà anche integrare nell' area a' V equazione 

 differenziale, più generale, J ln = 0, conoscendosi al contorno il valore della 

 funzione e delle sue derivate rispetto alla normale interna, d'ordine 1,2, ... 

 n — 1. 



