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Un caso ben noto in cui la detta proprietà si verifica è quello fornito dal 

 celebre teorema di Weingarten ( 1 ), quando cioè la S è applicabile sopra una 

 superficie di rotazione e i raggi sono le tangenti alle deformate dei meridiani. 



Nella presente Nota, allo scopo di stabilire i teoremi di Guichard e gli 

 altri, di cui sopra è fatto cenno, mi limiterò per altro a trattare un caso 

 particolare del problema enunciato. Supporrò che la superficie S sia appli- 

 cabile sopra una superficie di rotazione e i raggi emananti da ogni punto 

 della superficie siano normali alle deformate dei paralleli ed in conseguenza, 

 per la condizione che i raggi formino un sistema normale, sia costante 1' an- 

 golo d'inclinazione dei raggi sulla superficie lungo ogni deformata di un 

 parallelo ( 2 ). Supposte verificate queste condizioni, domandiamo : È possibile 

 determinare la superficie S in guisa che la superficie 2 luogo degli estremi 

 dei segmenti, trasportati dalla S in ogni sua flessione, rimanga sempre 

 una superficie d' area minima, ovvero una superficie a curvatura costante? 



La risposta è fornita completamente dai teoremi seguenti: 



A) Affinchè la 2 resti costantemente ad area minima è necessario 

 e sufficiente che la S sia applicabile sul paraboloide di rotazione ed, in 

 questa speciale configurazione della S , i raggi emanino dal fuoco ovvero 

 dal punto all'infinito dell'asse; le lunghezze dei segmenti intercetti fra S 

 e 2 eguagliano i corrispondenti raggi focali. 



B) La superfìcie 2 resta a curvatura costante positiva allora e 

 allora soltanto quando la S è applicabile sull'ellissoide allungato di rota- 

 zione ovvero sull' iperboloide di rotazione a due falde e i raggi emanano, 

 in questa speciale configurazione di S, dall'uno o dall'altro dei due fuochi. 



C) La superficie 2 resta a curvatura costante negativa solo quando 

 la curva meridiana della superficie di rotazione, su cui la S è applica- 

 bile, è la curva esponenziale 



r = e z , 



ovvero la catenaria accorciata 



r = m cosh z (m <C 1) , 



o in fine la curva 



r =--- m senh z ; 



ogni volta si hanno dite diversi sistemi di raggi, che soddisfano alla que- 

 stione, e nascono V uno dall' altro per riflessione sulla superficie S. 



I teoremi A) B), quando già si supponga la S applicabile sulla corri- 

 spondente quadrica di rotazione, danno appunto i risultati di Guichard. 



Quanto alle proposizioni contenute nel teorema C) esse stanno in rela- 

 zione colla teoria della trasformazione delle superficie pseudosferiche ; ma per 

 ora non ne ho approfondito che un caso particolare, di cui sarà discorso più 

 avanti. 



( 3 ) V. Lezioni ecc., pag. 238. 



( 2 ) Quando la S è conformata a superficie di rotazione i raggi emananti dai punti 

 di un parallelo debbono quindi concorrere in un punto dell'asse. 



