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§ 2. Per dimostrare i teoremi enunciati procederemo nel modo seguente. 

 Sulla superfìcie S prendiamo a linee coordinate u = cosi, v = cost. rispet- 

 tivamente le deformate dei paralleli e dei meridiani, onde si avrà per 1' ele- 

 mento lineare 



(1) ds ì = du 2 -f r 2 dv 2 (r == <p(u) ) . 



Siano poi D , D' , D" i coefficienti della 2 a forma fondamentale ('), i 

 quali saranno legati dalla equazione di Gauss 



(2) MH__iL = _ r , i 



indicando come faremo in seguito cogli accenti le derivate di funzioni della 



sola u ; inoltre D , D' , D" saranno legati dalle equazioni differenziali di 

 Codazzi 



(3) 



Indichiamo poi con 



Itu \ r ] l>v \ r / 1 



(X, Yl z,) 

 (X 2 Yo Z 2 ) 

 (X 3 Y 3 Z 3 ) 



i coseni di direzione della terna ortogonale formata: 1°) dalla tangente alla 

 linea u — cost. ; 2°) dalla tangente alla v — cost. ; 3°) dalla normale alla 

 superficie. Avremo allora le note forinole fondamentali 



(4) ^ = X 2 , ^- = rX ì 



^i_D' x ^l-nv "» X » DY D 'y 



f = - r'x s + f r x 3 , f = + D 'x 3 , f = - e : Xl - D% , 



(5) 



colle analoghe per ^ , £ , Y f , Z* (V = 1 , 2 , 3). 



Consideriamo ora il raggio che emana dal punto (x , y , s) di S ed è 

 normale alla direzione (Xj , Y, , Z,) e sia a l'angolo d'inclinazione di questo 

 raggio sulla superficie, ove, per ipotesi, sarà a funzione della sola u. I co- 

 seni di direzione 



X,Y,Z 



di detto raggio saranno dati manifestamente dalle formolo 



!X = cos a X 2 -f~ sen a X 3 

 Y = cos a Y 2 -f- sen a Y 3 

 Z = cos a Z 2 -j- sen a Z 3 



(') V. Lezioni, cap. IV. 



