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Costruiamo ora per il sistema di raggi le quantità fondamentali di 

 Kummer (') : 



E,F,G, e,f,f',g. 

 Per questo derivando le (6). otteniamo per le (5) 



(7) 



2? = — — sen a X, — sen(r(D 4- a') X 2 4- cos <r(D 4- a') X 3 



lui r 



2? = ir' cos e - 5l!H5\ Xi — D' seno- X 2 -f D' cos <r X 3 , 

 iv \ r J 



onde seguono le formole 



D' 2 



(8) { G 



n'2 , D' / , D"senff\ 



E = (D+<r') 2 + ^ sen 2 <r , F = D'(D+<x') — -sentir cosff — r J, 



D' 2 -4- yr' cose 



D"sencr 



e = — sentf (D + <7 r ), /•=/'=— D'sen^, 



D"sen^ 



g = r\r cose — 



r 



0 



L'essere /*•=/" significa che la congruenza è normale, come già sape- 

 vamo, e poiché si ha 



— dm 



le coordinate x , y , 1 di un punto mobile sopra una delle superficie J_ nor- 

 mali ai raggi saranno dati ( 2 ) dalle formole 



(8*) x = x-\-tlL, %p=y + tY, 't = z-\-tZ, 



ove si è posto 



9) t = G — j cos e du , 



con C costante arbitraria. Ora per determinare le ascisse ?i , Q 2 dei due 

 fuochi abbiamo l'equazione di 2° grado 



(10) (EG - F 2 ) <? 2 + [<?E -iif+f) P + eG] ? + ^ - ff = 0 , 

 le cui radici sono appunto q x ,%. Pei valori dei coefficienti di questa equa- 

 zione troviamo subito dalle (8): 



( / , D"sen<A , D' 2 f 



EG — F 2 = (D -j- o')[r' cos a — — — J + — sen a j 



^E— (/+/") F+ eG=D' 2 sencr(D+ff sen(7(D4-<r')( r'eoso- 



(11) 



D"senff\ 2 



/ , D"senff\ D' 2 , /• , „ D"sen g \ 

 + (D 4- e') 2 ri r'cosff — — — j — — sen 2 <r(r coso ^— J 



, , / , D"sen<r\ 

 .ff — — rsencr(D 4- a )lr coso" — — - — I — I» 



(!) V. Lezioni, ecc., capo X. 

 (2) /rf., pag. 256. 



2 sen 2 ff 



