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§ 3. Stabilite queste forinole fondamentali, passiamo alla nostra ricerca 

 e supponiamo dapprima che la superfìcie V normale ai raggi data dalla (8*) 

 si mantenga, in tutte le flessioni della S, superficie d" area minima. Sic- 

 come i suoi raggi principali di curvatura sono dati da 



r l = q l — t, r 2 = Q 2 — t , 



dovremo avere 



Qi + Qt = 2t , 



ossia 



(12) 2t(m — F 2 ) + <7E — (f+f) F + eG = 0. 



In questa sostituiamo per EG — F 2 , g~E — (f-\- f) F -f- <?G i valori (11), 

 dai quali mediante 1' equazione (2) di Gauss eliminiamo D". Kesta così una 

 relazione in termini finiti fra D , D' e siccome la supponiamo verificata in 

 tutte le flessioni della S, si vede facilmente che deve essere identicamente 

 verificata. Ed infatti, durante le flessioni di S, le quantità D , D' sono uni- 

 camente legate dalle due equazioni a derivate parziali del 1° ordine (3), 

 dalle quali pensiamo eliminato D" per mezzo della (2); una relazione co- 

 stante in termini finiti fra D , D' lascerebbe sussistere, al massimo, nella 

 totalità delle flessioni una sola funzione arbitraria. Facendo effettivamente 

 nella (12) la detta sostituzione, moltiplicando l'equazione per D 2 ed elimi- 

 nando D', troviamo : 



/ D' 2 \ DD' 2 i 2 



2^D -f ff')(Dr'cosff — ^sentf -f r" sena j -f — senffj + D 2 D' 2 sen<7(D-f-<r')— 



/ D' 2 \- 



— sen (r(D -J- <*') I Dr' cos a — ~ sen a ~\~ r " sen a ) + 



/ D' 2 \ 

 -f- rD(D -j- e')* I Dr' cos a —sen a -4- r sen a \ — 



DD' 2 / D' 2 \ 



- sen 2 c( Dr' cosff — sen a -j- r sen a \ = 0 . 



r 



Pongasi ora per brevità 



D'2 



Dr' cos a — — sen a -j- r" sen a = A 



e se ne tragga D' 2 in funzione di D e A colla forinola 



D 2 sene , . „ 



= Dr cos a + r sen a — A ; 



la precedente diviene : 



2t |D 2 r' coscr + Dr" sen a + a'A\ 2 -f- rD 2 (D + a')(Dr' cosa -f- r" sen a — A) 

 -senff(D + (7V 2 -J-rD(D-f-<r') 2 ^ — sen ffD^(Dr' cos ff-j-r" sen e — A) —■ 0 , 

 che deve risultare identica in D e A. Ne seguono le condizioni necessarie 

 e sufficienti 



(13) 2ta' = sen a 



(14) 2*r' cos a -j- r = 0 



(15) 2tr" sen a -f ra' = 0 



(16) 4^rV cos g -j- ra' — r sen a cos a — 0 



(17) Ma' sen a r" -f- ra' 2 — sen 2 cr r" = 0 . 



