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Noi escludiamo la soluzione a' = 0 perchè allora la (13) darebbe a = 0 

 e, il sistema di raggi essendo quello delle tangenti alle deformate dei me- 

 ridiani, saremmo ricondotti al teorema, già sopra citato, di Weingarten ( ] ). 

 Eliminando 2t dalle (14 (15) per mezzo della (13), otteniamo le due equa- 

 (14*) ra' -fi / sen ff cos e = 0 



(15*) sen 2 <rr" + r<r' 2 = 0 



e le (16) , (17) si riducono a queste medesime. 



Eesta dunque, se sarà possibile, di determinare e ,r ,t in funzione di u in 

 guisa da soddisfare le (13) , (14*) , (15*) e inoltre 1' equazione 



(18) *'-f cosff = 0, 

 che segue per derivazione dalla (9). 



Ora dalla (14*) si ha intanto 



(19) r= c cote, 



essendo c una costante. Sostituendo nella (15*), otteniamo per a 1' equazione 

 differenziale 



a" = 3 cotff a' 2 , 



dalla cui integrazione segue 



(20) à' = k sen 3 a , 



indicando k una nuova costante. Dopo di ciò la (13) diventa 



(21) 2/ = 1 . 

 v ' k sen 3 6 



e la (18) è identicamente soddisfatta. 



Il nostro problema ammette dunque certamente soluzioni; queste si ot- 

 tengono prendendo per a un integrale della (20) indi assumendo r dalla (19) 

 e t dalla (21). Si tratta ora di vedere quale sarà la superficie di rotazione 

 corrispondente. A tale scopo deduciamo dalla (20) 



, da 



au = — 



k sen 3 a 



e dalla (19) 



cela 



dr = 



sen 2 tf ' 

 indi 



L' elemento lineare della superficie di rotazione è adunque 



dsz= ¥?{ i+ 9) dr2+r2 dv2 



La costante c è affatto in nostro arbitrio ( l ) ; prendiamo per semplicità 



1 



° = -k . 



(') La stessa cosa intendiamo nelle ricerche dei paragrafi seguenti senza che lo ri- 

 petiamo. 



( 3 ) Cangiando la costante c si viene soltanto a sostituire alla superficie di rotazione 

 un' altra sua deformata dì rotazione. 



