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ed avremo 



ds 2 = (1 + k 2 r 2 ) dr 2 + r 2 dv- . 



Questo elemento lineare appartiene al paraboloide di rotazione, la cui 

 parabola meridiana ha per equazione 



La forinola (19) dà poi per l'inclinazione dei raggi sulla tangente alla 

 parabola 



ciò che dimostra che i raggi emanano dal fuoco ovvero sono paralleli all'asse. 

 Si osservi in fine che il valore di t tratto dalla (21): 



1 = ^(1 + ^*) 



eguaglia appunto la lunghezza del raggio focale. Così è completamente di- 

 mostrato il nostro teorema A). 



§ 4. Supponiamo ora invece che la superficie 2 rimanga sempre, nelle 



infinite flessioni di S, a curvatura costante — • Dovremo avere in tal caso 



A 



(Ci — t)(^ — t)==K 



ovvero 



(t* — A) — t( Ql + Q 2 ) + (>, Q 2 = 0 



che, per la (10), diviene: 



(t 2 - A)(EG- F 2 ) + t\gV -(/+/) F + *G( + «0-/r = O. 



Sostituendo pei coefficienti i valori (11) e procedendo del resto in modo 

 del tutto simile come sopra, troviamo per le funzioni incognite a , r , t le 

 equazioni seguenti: 



(22) (t* — A.) a' = t sena 



(23) 2(t 2 — A) erV cos a -f rta' — tr' sen a coso" = 0 



(24) 2(t 2 — A) a' sen ar" -f ria' 2 — t sen 2 <rr" — r sen a cr' = 0 



(25) (t 2 — A)r'cosff + r* = 0 



(26) (*» — A) sen <rr" -f- r/cr' — r sen a = 0 , 



alle quali aggiungendo la solita 



(27) ^ + costf = 0 , 



avremo tutte le condizioni necessarie e sufficienti perchè sussista la voluta 

 proprietà. Ora, in forza della (22), le (23) (24) diventano rispettivamente 



(23*) ra' -f- sen a cos a r" = 0 



(24*) t sen 2 ar' -f- rta' 2 — ra' sen a = 0 



e le (25) (26) si riducono esse stesse a queste. 



