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Restano dunque soltanto da soddisfarsi le (22) , (23*) , (24*) , (27). In- 

 tanto la (23*) ci dà ancora 



(28) r±=c cote , 

 indi la (24*) diventa 



a' cos 0 



( 29 ) t = ^uW^'\ 



Sostituendo nella (27), troviamo per 0 Y equazione differenziale 



— log (3 cottf . ct' 2 — 0") = - j- log(sen 3 a cos a) , 



du 5V <w 



da cui integrando risulta 



(30) 3 cot 0 . e — e" = h sen 3 <r cos a , essendo A una costante. 

 La (29) si cangia quindi nell'altra 



a' 



( 31 ) t — h sen 3 <r 



e la (22) ci dà allora per 0 l'equazione differenziale del 1° ordine 



a' 2 1 



( 32 ) h*sen 6 0 * h sen 2 0 ' 



che trae seco, come conseguenza differenziale, la (30). 



Restando A affatto arbitraria, il nostro problema ammette dunque sempre 

 soluzioni, che si ottengono prendendo per 0 un integrale della (32), indi as- 

 sumendo r dalla (28) e t dalla (31). 



§ 5. Vogliamo ora esaminare quale è la superfìcie di rotazione corrispon- 

 dente, nella qual cosa resta, come sopra, a nostra disposizione la costante c. 

 Dalla (32) ricaviamo 



du% = li sen 4 a(l + hk sen 2 a) 

 e quindi per 1' elemento lineare della superfìcie di rotazione 



da' 1 



= — — r + c 1 cot 2 0 dv 2 . 



a ' — h sen 4 <r(l + hk sen 2 er) T 



Per determinare la curva meridiana 



z = xp{r) 



abbiamo la equazione 



1+| 



1 + y/*^) = 



k*h(l + hk+^) 



ossia 



