— 150 — 



dove, per avere curve reali, dovrà supporsi h positivo, come risulta anche 

 del resto dalla (32). Poniamo 



1 



h= a 2 , c = — — 

 a 



ed avremo 



a 



xp'{r) 



(a) 



j/l — a 2 + a 2 r 2 



Distinguiamo ora secondo che a = 1 , ovvero a =j= 1 . 

 1°. Per a = 1 la curva meridiana è la curva esponenziale 



r = e z . 

 Le formole 



ta: e = =i= — , £ = r 



dimostrano che i raggi emananti dai punti della superficie sono i raggi stessi 

 dei paralleli, ovvero i loro riflessi, e i segmenti intercetti fra S e 2 hanno 

 lunghezza eguale al raggio del parallelo Possiamo quindi enunciare il 

 teorema seguente: 



Nella superficie S di rotazione attorno all'asse z che ha per meri- 

 diano la curva esponenziale r = e* si immaginino disposti su tutti i raggi 

 dei paralleli altrettanti segmenti terminati alla S ed al centro rispettivo ; 

 si fletta comunque la S che seco trasporti i detti segmenti invariabilmente 

 connessi, ai loro punti di partenza da S , alla S medesima. Dopo la de- 

 formazione il luogo degli estremi liberi dei segmenti sarà una superficie 

 pseudosferica normale ai segmenti ed una seconda superficie pseudosferica 

 si otterrà riflettendo i segmenti stessi sulla superficie e prendendo il luogo 

 dei termini dei segmenti riflessi. 



2°. Sia a 4=1. Allora per equazione della curva meridiana troviamo 



(fi) r = — cosh z , se a > 1 



a 



■il n qì 



iy) r = - — senh^, se «<1. 



La curva (/?) deriva evidentemente dalla catenaria comune accorciando 

 tutte le ordinate normalmente alla direttrice in un rapporto costante e può 

 dirsi la catenaria accorciata. 



A ciascuna delle oo 1 superficie di rotazione con curve meridiane (/?) 

 o (y) si coordinano due sistemi di raggi, riflessi 1' uno dell' altro, che traspor- 

 tati dalla relativa superficie, in qualsiasi sua deformazione, danno sempre 

 luogo alle normali di due superficie pseudosferiche. 



(i) Si osservi che se la S ha la forma di rotazione, una delle due superficie pseudo- 

 bferiche derivate è 1' ordinaria pseudosfera mentre 1' altra si riduce all' asse di rotazione. 



