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§ 7. Limitandoci per ora ad esaminare il caso della superfìcie esponen- 

 ziale di rotazione, vediamo in qual modo dipendono fra loro le due super- 

 fìcie pseudosferiche che si ottengono, secondo il paragrafo precedente, da ogni 

 sua deformata S. Siano 2' , 2" queste due superficie pseudosferiche e sia 2 

 la superficie complementare di S rispetto alle geodetiche deformate dei me- 

 ridiani, cioè la seconda falda focale della congruenza delle tangenti a queste 

 geodetiche. Dalle mie antiche ricerche risulta che anche la 2 è una super- 

 fìcie pseudosferica e con semplici considerazioni geometriche si può stabilire che 

 le due superficie pseudosferiche 2' , 2" sono ambedue complementari della 2. 



Inversamente sussiste il teorema: 



Prese due superficie pseudosferiche 2' , 2" complementari di una me- 

 desima 2 le normali a 2' , 2" in due punti corrispondenti (normali che 

 giacciono nel medesimo piano tangente di 2) si incontrano in un punto P ; 

 il luogo di questo punto P è una superficie applicabile sulla superficie 

 esponenziale di rotazione e le due superficie S , 2 sono complementari runa 

 dell'altra. 



Queste singolari proprietà della superficie esponenziale di rotazione danno 

 luogo bensì, come si vede, ad un modo di trasformazione delle superficie 

 pseudosferiche, che coincide peraltro colla trasformazione complementare. 



Rimane ora da vedere se le analoghe proprietà delle altre superficie di 

 rotazione dei tipi QS) (y) dànno luogo ad altri modi di trasformazione delle 

 superficie pseudosferiche, ovvero riconducono a trasformazioni già note. La 

 prima ipotesi sembra la più probabile, ma se anche sussistesse la seconda 

 il risultato non cesserebbe di presentare un certo interesse poiché ci darebbe 

 modo di trovare infinite deformate per flessione delle superficie di rotazione 

 dei tipi (/S) e (y). 



La decisione di questa e di molte altre questioni che naturalmente si 

 collegano ai teoremi della presente Nota deve rimanere riservata ad ulteriori 

 ricerche. 



AGGIUNTA. 



Dopo la presentazione della presente Nota ho cominciato alcune ricerche 

 più generali che, nel caso delle superficie minime danno il seguente teorema 

 più generale del teorema A) : Se da ciascun punto M di una superficie S 

 parte un segmento MM' ed il luogo degli estremi M' è ima superficie mi- 

 nima ortogonale ai raggi, la condizione necessaria e sufficiente perchè la 

 medesima proprietà si conservi in tutte le flessioni della S, alla quale i 

 segmenti MM' si immaginano invariabilmente collegati, è che la S sia ap- 

 plicabile sul paraboloide di rivoluzione ed, eseguita questa applicazione, i 

 segmenti MM' concorrano nel fuoco, ovvero si dispongano parallelamente 

 all' asse, avendo ciascuno lunghezza eguale al corrispondente raggio focale. 



