— 152 — 



Matematica. — Di uri equazione funzionale simbolica e di 

 alcune sue conseguenze. Nota del Corrispondente S. Pincherle. 



Sono note alcune trasformazioni usate nella teoria delle equazioni dif- 

 ferenziali lineari per ridurre certe classi di tali equazioni a tipi integrabili. 

 Sono particolarmente importanti le trasformazioni di Laplace e di Eulero (}), 

 la prima delle quali ha guidato in modo così notevole, per opera special- 

 mente del Poincaré ( 2 ), alla conoscenza delle equazioni ad integrali irregolari. 

 Queste trasformazioni sono operazioni funzionali distributive, definite da certe 

 loro proprietà caratteristiche cui si può dare la forma di equazioni funzio- 

 nali simboliche, e dalle quali si deducono in modo assai semplice, le ulte- 

 riori proprietà delle operazioni medesime Delle due operazioni citate, la 

 operazione di Laplace è di gran lunga quella il cui comportamento appare 

 più strano: essa ha di fronte all'operazione di Eulero un carattere che si 

 potrebbe dire di trascendenza, ed il dott. Arnaldi, nella citata sua Nota, ha 

 riscontrato due determinazioni, o come egli si esprime con giusto criterio di 

 analogia, due rami di questa operazione, rami il cui legame fra di loro non 

 appare a prima giunta evidente. In quanto all' operazione di Eulero, essa non 

 differisce in sostanza da quella di derivazione ad indice qualunque, intuita 

 dal Leibniz, introdotta nella scienza dal Liouville e studiata da numerosi 

 autori ( 4 ), sebbene piuttosto con intendimento di pura curiosità che in vista 

 di possibili applicazioni ; nè credo che ne sia stata notata l' identità, cui ora 

 accennava, con l' operazione di Eulero, così feconda invece di applicazioni, gran 

 parte delle quali risalgono a noti lavori dell' Heine ( 5 ). 



Nella presente Nota, studio un'equazione simbolica generale che con- 

 tiene come casi particolari quelle cui soddisfano le citate due operazioni. 

 Bicerco quale è la multiplicità di determinazioni dell' operazione definita da 

 una tale equazione; trovo lo sviluppo in serie della soluzione generale dell'e- 

 quazione stessa, e faccio infine l'applicazione ai due casi speciali di cui si 

 è discorso, e a qualche altro caso particolare notevole. Oltre all'interesse 



(1) Su queste trasformazioni, v. Schlesinger, Handbuch der Lineardiff. Gleichungen, 

 Bd I, Abschn. VII, Kap. 4 e Bd. II, Abschn. XII. Nella stessa opera (indice) si trova una 

 estesa bibliografia dell'argomento. 



(2) Amerio. Journ. der Math., T. VII e Acta Matti., T. Vili. 



(3) V. Arnaldi, Sulla trasformazione di Laplace, Bendiconti della B. Accad. dei 

 Lincei, serie 5 a , T. VII, agosto 1898; e una mia lettera allo Schlesinger, Journ. fur die r. 

 und ang. Mathematik, Bd. 119, s. 347. 



( 4 ) Biemann, Holmgren, Spitzer, Oltramare, Bourlet ed altri. 



(5) Nei T. LX, LXI e LXII del Journ. fur die r. und ang. Mathematik. 



