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intrinseco che presenta 1' equazione di cui si occupa questo lavoro, mi pare 

 che essa ne offra anche uno di indole generale, poiché essa porge F occasione 

 di trasportare in una regione più vasta, ed in cui le possibili combinazioni 

 sono straordinariamente moltiplicate, quelle considerazioni e quei metodi — 

 compreso quello tanto semplice e fecondo dei coefficienti indeterminati — che 

 sembravano esclusivi della teoria delle funzioni analitiche. 



1. Sia X il simbolo di un' operazione funzionale distributiva, X' la sua 

 derivata funzionale ('), cioè, essendo cp una funzione analitica arbitraria, 



X'fo) = X(xg>) — xK(g>). 

 Mi propongo di studiare 1' operazione definita dall' equazione simbolica 



(1) FX' = GX , 



essendo F e G due espressioni (o forme) differenziali lineari, di ordine qua- 

 lunque m, quest'ordine potendosi senza restrizione supporre uguale per en- 

 trambi. Essendo D il simbolo solito della derivazione ordinaria, sarà dunque 



F = « 0 D« + ajy*- 1 -j f- «, rt _,D + « m D° , 



2. Cerchiamo quale relazione passi fra due operazioni X , Y soddisfa- 

 centi alla stessa equazione (1). Poniamo Y — XK, dove K è una nuova ope- 

 razione; verrà ( 2 ), denotando cogli accenti le derivazioni funzionali: 



FX'K + FXK' = GrXK . 

 Ma dalla (1) si ha, qualunque sia la funzione su cui si opera: 



FX'K = GXK , 



onde segue, per ogni funzione soggetta alle operazioni indicate : 



FXK' = 0 , onde K' = 0 , 



e quindi ( 3 ) K è la semplice operazione di moltiplicazione. 



Se dunque X(g>), applicata alla funzione arbitraria soddisfa all' equa- 

 zione (1), anche X(^^), considerata come operazione applicata alla stessa 

 funzione, soddisfa alla medesima equazione. 



3. Essendo \i una funzione analitica qualsivoglia, indichiamo con a una 

 serie ordinata per le potenze crescenti di x. In questa serie si può con- 



C) Vedi il mio Mémoire sur le calcul fonctionnel distributif, Math. Ànnal., Bd. XLIX, 

 1897. In ciò che segue, quel lavoro verrà citato colla lettera M seguita dal numero del 

 paragrafo. Come in quella memoria, le maiuscole romane indicano operazioni distributive, 

 le minuscole greche indicano funzioni, le minuscole romane indicano numeri, reali o complessi. 



( 2 ) M, § 58. 



(3) M, § 60, a). 



