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siderare l' intensità della convergenza, riguardando come più intensamente 

 convergente quella serie che ha raggio di convergenza maggiore, e a parità 

 di raggio, quella serie che una operazione A definita da k(x n ) = a„x n muta 

 in serie avente maggiore raggio di convergenza ('). Una funzione della 

 forma a,u si potrà dire allora tanto più prossima a [a, quanto più sarà in- 

 tensamente convergente la serie a ; le più prossime, in questo senso, saranno 

 le xji , (a -f- bx) f*,(a-\- bx -f- W)\i , ... ; poi le «u in cui a è trascendente 

 intera, ecc. 



L'insieme delle funzioni a$ dove le a sono tutte le serie di potenze 

 convergenti più intensamente di una serie data «, costituisce ciò che chia- 

 merò un intorno della funzione fi ; a questo intorno appartengono certamente 

 tutte le funzioni x n fi e le loro combinazioni lineari in numero finito. Ho 

 già considerato simili intorni al § 64 del ricordato Mémoire ( 2 ). 



4. Ora, per ogni operazione distributiva X vale, come ho dimostrato ( 3 ), 

 in un intorno conveniente di una funzione fi, lo sviluppo (analogo alla serie 

 di Taylor nella teoria delle funzioni) in serie assolutamente ed uniformemente 

 convergente : 



(2) XfcwO = X( M ) 9 + XV) 9 + ^ X » »" + - h X( *V) 9™ + -, 



dove si è posto q> — , g>" — D 2 <f> , ecc. 



Se la X deve soddisfare alla equazione (1), questa equazione stessa, de- 

 rivata successivamente, ci fornisce i coefficienti dello sviluppo (2) ; si ha in- 

 fatti, derivando funzionalmente la (1) ( 4 ) : 



FX" = (G — F') X + GX , 



FX"'= (G — 2F') X" + (2G — F") X' + G"X , 



e in generale, indicando con (n m ) 1' m + l sim0 coefficiente della potenza ra sima 

 del binomio: 



(3) FX (n+1) = (G — nW) X (n) + (n& — (»,) F") X" 1 " 1 » + - 



... ((tWi) G (m " l) — (» w ) F m) ) X ( "- m+1) + (n m ) G (m) X ( "- m) ( 5 ) . 



Questa è una relazione ricorrente che permette di determinare succes- 

 sivamente le funzioni XV) , X"(u) , ... restando arbitraria la sola X(», che 

 indicheremo con X a . Ma la determinazione delle successive X (n V) mediante 



(') Questo concetto verrà più ampiamente svolto e discusso in un prossimo lavoro. 



( 2 ) Cfr. Kendiconti del Circ. Mat. di Palermo, T. XI: Sulle serie procedenti secondo 

 le derivate successive ecc., § 4. 



( 3 ) M., § 61. 



( 4 ) M., § 58. 



( 5 ) Si noti T analogia di forma fra questa e l' equazione ipergeometrica generalizzata 

 od equazione di Pochhammer. Nonostante la diversità dei simboli, la (3) si può ridurre a 

 quella equazione differenziale particolarizzando opportunamente i simboli stessi 



