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la (3) (che è, rispetto ad esse, un' equazione lineare mista differenziale e alle 

 differenze) non è univoca, come si vede facilmente. Infatti dalla (1) deduciamo 



X'(,u) = F- l GX(,«), 



ossia X'O) = ~F- l Gl 0 ; in altri termini, la X'(ft) si ottiene da A 0 mediante 

 la risoluzione di un' equazione differenziale lineare non omogenea di cui F è 

 il primo membro: essa è quindi determinata all' infuori di una funzione 

 contenente linearmente m costanti arbitrarie, funzione che è l'integrale ge- 

 nerale dell' equazione omogenea F = 0. In particolare, se X 0 ed i coefficienti 

 di Gr sono funzioni analitiche regolari nell' intorno di x = 0, si può pren- 

 dere come una delle determinazioni di X'(fi) V integrale principale l x ( J ) del- 

 l' equazione non omogenea, e si avrà per determinazione generale 



Analogamente, determinata che sia X'(fi), la X"(,u) resterà determinata 

 mediante una analoga equazione differenziale lineare non omogenea, avente 

 per primo membro F, e così via, per modo che X tM) (jii) conterrà linearmente 

 nm costanti arbitrarie. 



5. Come si vede, indicando con l a , X 1 , l 2 , ... una serie di speciali de- 

 terminazioni delle X(,«) , X'O) , X"0) . - > dove l 0 è arbitraria, se ne de- 

 duce che la determinazione generale delle medesime è 



dove le . w 2 , ... soddisfano alla stessa equazione ricorrente (3), colla de- 

 terminazione iniziale to 0 = 0 ; cioè esse sono date dal sistema : 



) F(%) = (Gr — F') », 



( E|ó, h+1 ) = (G — nW) to n + (n& — (*,) F") -j f- (n m ) G^co^ . 



È da notare che la risoluzione dell' equazione mista (3), che fornisce 

 le successive X (n) (u), richiede l' aggiunzione dei soli campi di trascendenza 

 che provengono dall' integrazione successiva di equazioni aventi F per primo 

 membro. 



6. Abbiamo dunque imparato a determinare 1' espressione analitica del- 

 l' operazione definita dall'equazione (1), sotto forma di uno sviluppo in serie 

 ordinato per le derivate successive della funzione arbitraria, e convergente 

 assolutamente ed uniformemente in un intorno della funzione data Per 

 9>=1, quello sviluppo dà X(,u) = A 0 ; pertanto, ad una funzione arbitraria 



(') ffauptintegral degli autori tedeschi. Per la sua determinazione, v. M., §§ 110 

 e segg. 



