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jtt li' operazione X può fare corrispondere una funzione pure arbitraria X 0 . 

 Ciò è analogo a quanto accade, nella teoria delle funzioni, per le equazioni 

 differenziali del prim' ordine : se y = <p(x) è l' integrale generale di una simile 

 equazione, si può fissare ad arbitrio il valore y 0 di y che corrisponde ad un 

 dato valore x a di x. 



7. Dirò ramo dell'operazione X l'insieme delle sue determinazioni pel- 

 le quali ad una funzione data corrisponde una funzione parimente data X 0 . 

 Siano X! , X 2 due simili determinazioni: posto X 3 = X 2 — X a , si avrà 



(4) x 3 H=^4n^+'"+^ (w, +:" ; 



la X 3 è un ramo dell'operazione che ammette come radice la funzione data fi. 



In particolare, si può considerare quel ramo di X che fa corrispondere 

 ad una costante una costante: X(l) = 1. Si ottiene allora lo sviluppo, va- 

 lido nell' intorno della costante 



X(y ) - 9 >4; | 'i9>' + j^W' + - ) 



dove /li , X 2 , X 3 , ... è la successione di funzioni determinata, all' infuori delle 

 addittive a> 1 , w 2 , ... , dal sistema (3) colla condizione iniziale A 0 = 1. Fis- 

 sata la determinazione di ogni X n , resta fissata quella delle X(x n ) = £„ , le- 

 gate colle X n da 



(5) = X n + nx K-i + (»,) x 2 K-2 H h nx n ~ ì X l + x n . 



8. Applichiamo la teoria generale svolta nelle poche righe precedenti 

 ad alcune equazioni particolari della forma (1), e consideriamo dapprima il 

 caso in cui la forma differenziale lineare P che figura nel primo membro 

 della (1) si riduce all' ordine zero, nel quale caso non ha più luogo la mol- 

 tiplicità di determinazioni delle X n dall' equazione mista differenziale e alle 

 differenze (3), poiché questa moltiplicità è dovuta, come si è visto, alla de- 

 terminazione molteplice della P _1 . 



L'equazione (1) si riduce, in questo caso, a 



(6) X' = GX; 

 il sistema ricorrente (3) è dato da 



X\ = GrA 0 , 



X» = Gli -)- G X 0 



X n+l == GcX n -j- "/iGr'Xn-l ~~\~ "' {w>m— l) G (m_1) ^n-mH-l ~\~ (^m) Gr '•«—!»» 5 



le X n sono determinate senza ambiguità quando sia fissata la X Q . Talché, 

 quando sia stabilito il ramo della X che si considera mediante la posizione 



