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X(;it) = X Q , lo sviluppo in serie (2) resta fissato senza ambiguità nei suoi 

 coefficienti ; in questo caso, la determinazione delle X n non richiede l' ag- 

 giunzione di alcun campo di trascendenza a quello di A 0 e dei coefficienti 



9. Supponiamo che un'operazione X, soddisfacente alla equazione (6), 

 ammetta una radice fi. Sarà allora X 0 — 0, e quindi, per le (7), tutte le 

 Ai,A 2)> ... saranno identicamente nulle. Essendo dunque X'(,«)=0 , X"(;i<)=0,... , 

 sarà X(xfi) = 0 , X(x 2 fi) = 0 , ... , e quindi le funzioni fi , xfi , x'\a , ... e 

 tutte le loro combinazioni lineari, saranno radici di X, la quale ammetterà 

 pertanto uno spazio lineare di radici formato da tutti gli elementi di un 

 intorno di fi. Manca in tale caso, per X(<tfi), uno sviluppo in serie della 

 forma (2) ; questo fatto si può esprimere dicendo che 1' operazione X è sin- 

 golare nell' intorno di fi , o che fi è un elemento singolare di X. 



In particolare, sostituendo ad X(y) il ramo X(fi(p) = Xi(<p), questo am- 

 mette come radice y> — 1 , <p == x , <p = x 1 , ... , e quindi tutto un intorno S 

 della costante; la costante è, in questo caso, una singolarità di X! . 



10. Mostriamo però come sia possibile di ottenere come segue un' espres- 

 sione analitica per X! anche quando essa è singolare nell'intorno della co- 

 stante. All' uopo, si indichi con a una funzione che non sia radice di X x , e 

 si consideri, essendo a un elemento di S: 



di G. 



questa si sviluppa (M, § 63) in 



X,(«) = X,(<r) l + X, '(a) D £ + ^ X'» D 2 ^ + - ; 



ora 



ed indicando con E(a) la forma di prim' ordine 



a a 



G 



viene, come si verifica immediatamente: 



D 



- = -E(«), D 2 - = ì E 2 (a) , ... D» 



<r a a a 



a 



G 



Si ottiene così lo sviluppo: 



Rendiconti. 1899, Voi. Vili, 1° Sem. 



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